저명한 수학자의 답보다 나은 답을 낸 중학생들

※ 이 포스트는 이슬비님의 블로그(http://iseulbee.com)에서 발췌했습니다.

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다음은 Steven G. Krantz의 책 '문제해결의 수학적 전략(Technizues of Problem Solving)'에 나오는 문제이다.

두 종류의 사람, 즉 거짓만 말하는 사람들과 참만 말하는 사람들이 살고 있는 섬에 갔다고 하자. ‘예’ 또는 ‘아니오’로만 대답해야 하는 질문을 했을 때 참만 말하는 사람은 항상 참만 말하고 거짓만 말하는 사람은 항상 거짓만 말한다. 외모로는 거짓만 말하는 사람과 참만 말하는 사람을 구별할 수 없다. 섬에서 만난 한 사람에게 단 한 번의 질문만으로 참만 말하는 사람인지 거짓만 말하는 사람인지를 알아내기 위하여 어떤 질문을 할 수 있을까?

책에서는 이 문제의 답을 다음과 같이 설명하고 있다.

‘당신이 참만 말하는 사람입니까?’와 같은 직접적인 질문을 한다면 참만 말하는 사람은 ‘예’라고 대답할 것이고 거짓만 말하는 사람 또한 ‘예’라고 대답할 것이다. ‘당신은 거짓만 말하는 사람입니까?’라는 질문을 하더라도 비슷한 결과를 얻을 것이다. 따라서 초보적이고 직접적인 질문은 구별할 수 있는 근거를 제시하지 못한다.

그러므로 조건부적인 질문, ‘또는’이라는 말이 들어가 있는 질문, ‘그리고’라는 말이 들어 있는 질문과 같은 복합적인 질문을 해야 한다. 기본적인 논리과정에서 배우는 것은 이러한 세 종류의 질문 중에서 그 어느 것이라도 다른 세 종류의 질문 중 하나로 다시 재구성할 수 있다는 것이다. 우리는 문제를 해결할 수 있는 ‘만약 …이라면, …’의 형태의 질문을 만드는 데 집중한다.

우리가 만들 수 있는 질문은 ‘비가 온다면 당신은 …에 대하여 무엇이라고 말할 것인가?’ 또는 ‘당신이 문학박사라면 …에 대하여 무엇이라 답할 것인가?’와 같은 형태일 것이다. 그러나 이 조건들은 우리의 문제와는 전혀 관계가 없다는 것이 분명하다.

아마도 문제와 더 관련된 질문은 ‘당신이 참만 말하는 사람이라면 …에 대하여 뭐라고 말할 것인가?’와 같은 형태일 것이다. 게디가 질문을 마무리하는 부분은 우리가 풀려고 하는 문제와 관계있는 것이어야 한다. 이제 질문을 만들어보자.

“당신이 참만 말하는 사람이라면 ‘당신은 거짓만 말하는 사람입니까?’라는 질문에 어떻게 답할 것인가?”

이제 섬에 살고 있는 서로 다른 두 종류의 사람들이 이 질문에 어떻게 답을 할 것인지를 분석해보자.

분명히 참만 말하는 사람은 ‘당신은 거짓만 말하는 사랍입니까’라는 질문에 ‘아니오’라고 답할 것이다. 참만 말하는 사람에게 위의 질문을 한다면 그 사람은 틀림없이 주어진 질문에 정직하게 답할 것이고, 그래서 그는 ‘아니오’라고 말할 것이다.

거짓만 말하는 사람도 참만 말하는 사람과 마찬가지로 분명하게 생각할 수 있다. 그 사람 역시 참만 말하는 사람이 ‘거짓만 말하는 사람입니까?’라는 질문에 ‘아니오’라고 말할 것이라는 것을 안다. 그러나 거짓만 말하는 사람은 거짓만 말해야 한다. 그래서 그는 ‘예’라고 말할 것이다.

따라서 참만 말하는 사람이 항상 ‘아니오’라고 대답하고 거짓만 말하는 사람은 항상 ‘예’라고 대답할 질문을 찾았다. 이는 거짓만 말하는 사람과 참만 말하는 사람을 구별할 수 있게 하고, 문제에 대한 답이 된다.

그러나 내가 가르치고 있는 학생들은 다음과 같은 답을 찾았다.

만난 사람에게 “당신은 사람입니까?”라고 질문하면 된다.

중학교 1학년 17명의 학생을 4개 모둠으로 편성하여 총 6개의 문제를 풀도록 하였고, 6개의 문제 중 첫 번째의 것이 이 문제였으며, 2개의 모둠에서 독립적으로 이와 같은 답을 찾아냈다.

학생들은 참만 말하는 사람과 거짓만 말하는 사람이 모두 가진 공통적인 속성에 집중하였으며, 그와 같은 속성에 대하여 두 종류의 사람이 서로 다른 대답을 할 수밖에 없다는 것을 생각했다. 그 결과 뛰어난 수학자가 제시한 답보다 훨씬 간단하고 명료한 답을 도출했다.