바나흐-타르스키 역설 - 6. 마치며

언제나 그렇듯 처음에는 그냥 쉽고 간단하게 바나흐-타르스키 역설을 소개하는 정도로 글을 마무리 하려고 했는데, 쓰다보니 길어져서 글을 연속으로 여섯편이나 쓰게 되었다. 보통 수식이 많이 들어가는 글을 작성할 때에는 LaTeX로 글을 먼저 쓴 후에 나중에 티스토리에 문법 구조에 맞게끔 글을 수정해서 올리는데, LaTeX로 작성한 글도 거의 14페이지 가까이 된다. 이럴 시간에 내 논문을 좀 더 신경 썼어야 되는데, 뭐 그래도 이렇게 다양한 분야의 수학을 경험 하는 것이 언젠가는 내 커리어에 도움이 될 것이라 생각한다. 아래 파일은 LaTeX로 작성한 문서를 pdf로 변환한 파일이다. 파일 안에 블로그에 적은 모든 내용이 들어가 있다.

jjycjn_Banach Tarski paradox.pdf

참고문헌

1. Youtube: The Banach–Tarski Paradox by Vsause^[각주:1]

바나흐-타르스키 역설에 대한 글을 쓰기로 결심한 계기를 준 동영상이다. Vsause는 수학이나 과학에 관한 동영상을 전문적으로 올리는 유투버이다. 아래 동영상은 일반 대중도 쉽게 이해할 수 있게 만들어졌으므로, 많은 디테일이 생략되고 두리뭉실하게 넘어간 부분이 있기는 하지만, 실제로 바나흐-타르스키 역설에 의한 구의 분해 및 재결합 과정을 시각적으로 확인할 수 있어서 굉장히 신기하다. 바나흐-타르스키 역설에 대한 설명 외에도 동영상 초반부에는 무한에 관한 다양한 역설들을 소개하고 있다. 

2. Tom Weston, "The Banach–Tarski Paradox", expository paper^[각주:2]

바나흐-타르스키 역설의 증명을 바닥부터 시작하여 증명의 끝까지 다루고 있다. 실제로도 블로그에 내가 쓴 증명도 이 페이퍼에 많은 부분을 참고해서 하였다. 증명이 굉장히 굉장히 구성적인데, 실제로 $\mathcal{B}^3$를 어떻게 분할해야 하는지까지 자세하게 (그리고 복잡하게) 설명하고 있다. 증명의 사소한 디테일 하나까지 전부 설명하고 있어 읽다보면 지나친 감도 있지만, 인터넷에 공개된 많은 페이퍼 중에서는 가장 쉽게 쓰여진 페이퍼인것 같다.

3. Stanley Wagon, "The Banach-Tarski Paradox", Cambridge University Press, Cambridge, 1985

바나흐-타르스키 역설 하나만을 주제로 한 책이다. 물론 (양도 많고 내 전공분야도 아니라) 자세히 읽지는 않았지만, 바나흐-타르스키 역설에 관해 생각해 볼 수 있는 모든게 다 담겨 있는것 같다.

1. https://www.youtube.com/embed/s86-Z-CbaHA [본문으로]
2. http://people.math.umass.edu/~weston/oldpapers/banach.pdf [본문으로]