Normed Space - 3. Continuous Linear Transformation

3. Continuous Linear Transformation

$(V,\, \norm{\cdot})$와 $(W,\, \norm{\cdot})$를 동일한 체 $\F$ 위에서의 두 노름공간(normed linear space)라 하자. 또한 $L: V \to W$ 을 선형변환(linear transformation) (= (상)mapping = (함수)function = (작용소)operator)이라 하자. 이 때, 만약 모든 $x_n \to x$ in $(V,\, \norm{\cdot})$에 대하여 $L(x_n) \to L(x)$ in $(W,\, \norm{\cdot})$을 만족하면, $L$이 $V$에서 연속(continuous)이라 한다.

정리 1.3.1

$L:(V,\, \norm{\cdot}) \to (W,\, \norm{\cdot})$이 선형이라 가정하자. 그러면 다음의 명제들은 모두 동치이다.

(1) $L$은 $V$에서 연속이다: 만약 $x_n \to x$ in $V$이면, $L(x_n) \to L(x)$ in $W$이다.

(2) $L$은 점$0$에서 연속이다: 만약 $x_n \to 0$이면, $L(x_n) \to L(0) = 0$이다.

(3) $\mu>0$가 존재하여 모든 $x \in V$에 대하여 $\norm{L(x)} \leq \mu \norm{x}$를 만족한다.

(4) $V$의 닫힌 단위구 $B[0,\,1]$의 $L$에 대한 상(image)는 $W$에서 유계 집합(bounded set)이다.

(5) $V$의 임의의 유계인 집합의 $L$에 대한 상은 $W$에서 유계이다.

증명. $(1) \Rightarrow (2)$ 자명하게 성립한다. 

$(2) \Rightarrow (3)$ 우선 $(2)$는 성립하지만 $(3)$이 성립하지 않는다고 해보자. 그러면 순열 $x_n \in V$이 존재하여 모든 $n \in \N$에 대하여 $\norm{L(x_n)} > n \norm{x_n}$을 만족한다. $x_n \neq 0$이므로 다음과 같이 순열 $(y_n)$을 정의하면,

\[ y_n := \frac{x_n}{n \norm{x_n}} \]

$y_n \to 0$ in $V$이 성립한다. 하지만

\[ \norm{L(y_n)} = \norm{L\left( \frac{x_n}{n \norm{x_n}}\right)} = \frac{\norm{L(x_n)}}{n \norm{x_n}} > 1 \]

이므로, $n \to \infty$이여도 $L(y_n) \nrightarrow 0$이고, 이는 (2)에 모순이다.

$(3) \Rightarrow (4)$ 모든 $x \in V$에 대하여 $\norm{L(x)} \leq \mu \norm{x}$을 가정하자. 따라서 모든 $\norm{x} \leq 1$에 대하여, $\norm{L(x)} \leq \mu$를 얻는다. 이는 $L(B[0,\,1])$이 $\mu$에 의해 유계임을 의미한다.

$(4) \Rightarrow (5)$ $(4)$를 가정하고 집합 $E$가 $V$에서 유계라고 하자. 그러면 충분히 큰 $K$에 대하여 $\frac{1}{K}E \subseteq B[0,\,1]$를 얻는다. 따라서

\[ \frac{1}{K}L(E) \subseteq L\left( \frac{1}{K}E \right) \subseteq L(B[0,\,1]). \]

그러므로 $L(E) \subseteq K L(B[0,\,1])$이고, 따라서 유계이다.

$(5) \Rightarrow (3)$ $L(B[0,\,1])$이 유계집합이므로, $\mu >0$가 존재하여 모든 $\norm{x} = 1$에 대하여 $\norm{L(x)} \leq \mu$를 만족한다. 이제 영이 아닌 임의의 $y \in V$에 대하여, 

\[ \frac{1}{\norm{y}} \norm{L(y)} = \norm{L\left( \frac{y}{\norm{y}} \right)} \leq \mu. \]

따라서 $\norm{L(y)} \leq \mu \norm{y}$이 성립한다. 

$(3) \Rightarrow (1)$ 먼저 $x_n \to x$ in $V$라 가정하자. 그러면

\[ \norm{L(x_n) - L(x)} = \norm{L(x_n-x)} \leq \mu \norm{x_n-x} \to 0. \]

그러므로, $L(x_n) \to L(x)$ in $V$이 성립한다. ■

참고. 만약 주어진 선형 변환이 모든 유계집합을 유계집합으로 보내면, 이를 유계선형변환(bounded linear transformation)이라 한다. 따라서 임의의 '연속인' 선형 변환은 '유계인' 선형 변환이다.

정의 1.3.2

변환 $L:V \to W$이 선형이고 연속이라 하자. 이 때,

\[ \norm{L} := \inf\set{\mu>0}{\norm{L(x)} \leq \mu \norm{x} \text{ for all }x \in V} < \infty. \]

로 정의된 $L$의 노름 $\norm{L}$을 $L$의 작용소노름(operator norm)라 한다. 이때 작용소노름은 $V$와 $W$의 노름에 의해 결정된다.

간단정리 1.3.3

$L$의 작용소노름 $\norm{L}$은 다음 중 하나로도 정의할 수 있다:

\[ \norm{L} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{L(x)}}{\norm{x}} = \sup_{\norm{z} \leq 1} \norm{L(z)} = \sup_{\norm{z} = 1} \norm{L(z)}. \]

또한, 임의의 $x \in V$에 대하여 $\norm{L(x)} \leq \norm{L}\norm{x}$이 성립하고, 따라서

\[ \norm{L(x) - L(y)} = \norm{L(x-y)} \leq \norm{L} \norm{x-y}. \]

예제 1.3.4

(1) $L : V \to W$을 모든 $x \in V$에 대하여 $L(x) = 0$로 정의하자. 그러면 $\norm{L} = 0$을 얻는다.

(2) $I : V \to V$를 항등변환(identity transformation)이라 하자. 그러면

\[ \norm{I} = \sup_{\norm{z} = 1} \norm{I(z)} = \sup_{\norm{z} = 1} \norm{z} = 1. \]

(3) 변환 $A = [a_{ij}]_{n \times n} : l_\infty^n(\R) \to l_\infty^n(\R)$를

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\[-3px] \vdots \\[-3px] x_n \end{bmatrix} \ \mapsto \ Ax = \begin{bmatrix} y_1 \\[-3pt] \vdots \\[-3px] y_n \end{bmatrix} \]

와 같이 정의하자. 그러면 $A$는 연속선형변환(continuous linear transformation)이고,

\[ \norm{A} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}} \]

가 성립한다.

증명. 우선 모든 $i=1:n$에 대하여 $y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j$이므로

\[ \abs{y_i} \leq \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}} \abs{x_j} \leq \left( \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}} \right) \norm{x}_\infty \]

를 얻는다. 따라서

\[ \norm{y}_\infty \leq \max_i \abs{y_i} \leq \Bigg( \underbrace{\max_i \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}}}_{=:\mu} \Bigg) \norm{x}_\infty \]

가 성립한다. 이는 임의의 $x \in \Rn$에 대하여 $\norm{Ax}_\infty \leq \mu \norm{x}_\infty$를 의미한다. 따라서, $A$는 연속이고 또한 

\[ \norm{A} \leq \mu = \max_i \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}} \]

가 성립한다. 이제 반대 방향의 부등식을 증명하기 위하여, 적당한 $i'$에 대하여 $y = \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{i'j}}$를 정의하자. 만약 $\mu=0$라면 증명이 자명해지므로, 우선 $\mu \neq 0$라고 가정하자. 이제 $x \in \R^n$를 아래와 같이 정의한다.

\[ x_j = \begin{cases} \frac{a_{i'j}}{\abs{a_{i'j}}}, & \text{if } a_{i'j} \neq 0 \\ 0, & \text{if } a_{i'j} = 0  \end{cases} \]

그러면 $\norm{x}_\infty = 1$임을 간단히 확인 할 수 있다. 그러므로

\[ \norm{Ax}_\infty = \max_i \abs{\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j} = \max_i \abs{\sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}}} = \mu. \]

따라서 $\mu = \norm{Ax}_\infty \leq \norm{A} \norm{x}_\infty = \mu$를 얻는다. 따라서 최종적으로 아래의 등식이 성립한다.

\[ \norm{A} = \mu = \max_{i} \sum_{j=1}^{n} \abs{a_{ij}}. \qquad \blacksquare \]

(4) $V = W = C_\R[a,\,b]$라 하고 $\norm{\cdot}_\infty$을 정의하자. 이제 $K(s,\,t)$가 $[a,\,b] \times [a,\,b]$에서 연속이라 하자. 변환 $L : C_\R[a,\,b] \to C_\R[a,\,b]$을

\[ (Lf)(s) = \int_{a}^{b} K(s,\,t) f(t) \,\mathrm{d}t \]

와 같이 정의한다. 그러면, 모든 $f \in C_\R[a,\,b]$에 대하여, $Lf \in C_\R[a,\,b]$이고, $L$이 선형임을 알 수 있다. 이와 같은 변환은 적분작용소(integral operator)의 한 예이다.

\[ \begin{aligned} \norm{Lf}_\infty &= \sup_{s \in [a,\,b]} \abs{Lf(s)} \\ &\leq \sup_{s \in [a,\,b]} \int_{a}^{b} \abs{K(s,\,t)} \abs{f(t)} \,\mathrm{d}t \\ &\leq \left( \sup_{s \in [a,\,b]} \int_{a}^{b} \abs{K(s,\,t)} \,\mathrm{d}t \right) \norm{f}_\infty \\ &= \mu \norm{f}_\infty. \end{aligned} \]

그러므로, $L$은 연속이다.

(5) 아래와 같이 공간 $V$를 정의한다.

\[ \begin{aligned} V :&= C'_\R[a,\,b] \\ &= \set{f \in C_\R[a,\,b]}{\text{$f'$ exists and continuous on $[a,\,b]$}}.  \end{aligned} \]

따라서 $C'_\R[a,\,b]$의 원소들은 '연속적으로 미분가능한 함수(continuously differentiable function)'들이다. 이제 $C'_\R[a,\,b]$ 에서 노름 $\norm{\cdot}_\infty$을 정의한다. 이제 아래와 같이 미분작용소(differential operator)를 정의하자.

\[ D : C'_\R[a,\,b] \to C_\R[a,\,b] \quad \text{by} \quad f \mapsto f'. \]

그러면 자명하게 $D$는 선형이다. 하지만, $D$는 연속이 아니다.

증명. 우선 $D$가 연속이라고 가정해보자. 그러면 $\mu > 0$가 존재하여 임의의 $f \in C'_\R[a,\,b]$에 대하여 $\norm{Df}_\infty \leq \mu \norm{f}_\infty$를 만족한다. 이는

\[ \norm{f'}_\infty \leq \mu \norm{f}_\infty \quad \text{for all } f \in C'_\R[a,\,b] \]

를 의미한다. 이제 $f_n(t) = t^n$이고 $[a,\,b] = [0,\,1]$를 택해보자. 그러면, 모든 $f_n$에 대하여 $\norm{f_n}_\infty = 1$를 얻는 반면, $\norm{f'_n}_\infty = n$이 된다. 하지만 $n$이 충분히 크다면 $n \leq \mu$이 더이상 성립할 수 없고 따라서 모순에 도달하게 된다. ■

정리 1.3.5

$L : (V,\,\norm{\cdot}) \to (W,\,\norm{\cdot})$이 선형변환이라 하자. 만약 $V$가 유한차원이면, $L$은 연속이다. 특히, $A_{m \times n} : (\R^n,\, \norm{\cdot}) \to (\R^m,\, \norm{\cdot})$은 언제나 연속이다.

증명. $\{e_1,\, e_2,\, \ldots,\, e_n\}$를 공간 $V$의 기저(basis)라 하자. 그러면 임의의 $x \in V$를

\[ x = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n \]

와 같이 표현할 수 있다. 또한 $\norm{\cdot}$과 $\norm{\cdot}_1$가 $V$에서 서로 동치임을 기억하자. 따라서 적당한 $\beta>0$에 대하여 $\norm{x}_1 \leq \beta \norm{x}$를 얻는다. 이제,

\[ \begin{aligned} \norm{L(x)} &= \norm{\sum_{i=1}^{n} x_iL(e_i)} \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i} \norm{L(e_i)} \\ &\leq \Big( \underbrace{\max_i \norm{L(e_i)}}_{=:\alpha} \Big) \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i} \\ &\leq \alpha \norm{x}_1 \\ &\leq \alpha \beta \norm{x}_1 \end{aligned} \]

그러므로, $L$은 연속이다. ■