Problems and Solutions #002

Problem #002

피타고라스 삼중쌍(Phythagorean triple)이란 아래의 식을 만족하는 양의 정수의 쌍 $(a,\, b,\, c)$를 말한다.

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

위 식을 만족하는 피타고라스 삼중쌍은 무한함이 알려져 있다. 특히, $(3,\, 4,\, 5)$는 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이다. 이와 같이 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이 또 존재할까? 만약 존재한다면 그러한 삼중쌍을 모두 찾고, 아니면 존재하지 않음을 증명하여라.

연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍은 $(3,\,4,\,5)$가 유일함을 증명할 것이다. 만약에 조건을 만족하는 삼중쌍이 존재한다면 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $(n-1,\, n,\, n+1)$이라 가정할 수 있다. 따라서 이 삼중쌍은

\[ (n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2 \]

를 만족해야 하고 이를 정리하면, $n(n-4) = 0$을 얻는다. $n=4$인 경우 삼중쌍 $(3,\,4,\,5)$를 얻게 되고, $n=0$인 경우에는 삼중쌍 $(-1,\,0,\,1)$을 얻게 되는데 이는 양의 정수여야 한다는 조건에 맞지 않는다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 삼중쌍은 $(3,\,4,\,5)$가 유일하다.