Problems and Solutions #005

Problem #005

점 $O$를 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점이라고 하자. 또한 삼각형 $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DAO$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$라고 하자.

이때 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$를 적당한 순서로 배열하여 연속적인 정수가 되게 할 수 있을까?

점 $A$에서 선분 $BD$에 내린 수선의 발을 $P$, 점 $C$에서 선분 $BD$에 내린 수선의 발을 $R$이라고 하자.

그러면 각 삼각형들의 넓이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ S_1 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\overline{AP}, \quad S_2 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\overline{CR}, \quad S_3 = \frac{1}{2}\,\overline{DO}\,\overline{CR}, \quad \frac{1}{2}\,\overline{DO}\,\overline{AP} \]

위 식으로부터 $S_1S_3 = S_2S_4$를 얻는다. 이제 만약 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$를 적당한 순서로 배열하여 연속적인 정수가 될 수 있다면, 적당한 정수 $n$에 대하여 이 배열을 $n, n+1, n+2, n+3$이라 할 수 있을 것이다. 이제 등식 $S_1S_3 = S_2S_4$를 만족하기 위해서는 반드시 이 배열이

\[ n(n+3) = (n+1)(n+2) \]

를 만족해야만 함을 알 수 있다. (이 외의 다른 곱셈의 조합으로는 절대 등식을 만들 수 없다.) 하지만 이 경우 $0=2$가 되어 모순이 생긴다. 따라서 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$을 어떻게 재배열 하더라도 연속적인 정수가 될 수 없다.