Construction of Measure (3) 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)

저번 글에서는 임의의 공간 $X$ 위에서 외측도(outer measure) $\mu^*$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 앞서 확인해 보았듯이, 일반적으로 외측도 $\mu^*$는 $2^X$ 위에서 측도가 아니다.

이번 글에서는 $X$ 위에서 정의된 임의의 외측도 $\mu^*$ 를 바탕으로 $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra) $\mathcal{A}$를 정의하여, $\mu = \mu^*|_{\mathcal{A}}$가 $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 완비측도(complete measure)가 되게끔 하고자 한다. $X$ 위에 주어진 측도로부터 완비측도공간을 구성하는 방법을 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)이라 한다.

카라테오도리 구성(Caratheodory Construction)

먼저 아래의 정의가 필요하다.

정의 3.1 (좋은(nice) 집합)

공집합이 아닌 $X$ 위에 주어진 외측도 $\mu^* : 2^X \to [0,\,\infty]$에 대하여, 집합 $E \subseteq X$가 아래의 조건을 만족하면 "좋은(nice) 집합"^[각주:1] (또는 $\mu^*$-가측집합($\mu^*$-measurable set))이라 한다.

\[ \mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c), \quad \forall\, A \subseteq X. \]

이제 $\mathcal{A}$를 모든 좋은 집합들의 모임이라 하자. 다시 말해,

\[ \mathcal{A} = \set{E \subseteq X}{\text{$E$ is nice}}. \tag*{$(\ast)$}\]

라 정의하자.

보조정리 3.2

$\mathcal{A}$의 서로소인 집합들의 (유한) 모임 $\{F_n\}_{n=1}^{k}$과 임의의 $A \subseteq X$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \right) = \sum_{n=1}^{k} \mu^*(A \cap F_n). \]

증명. 각각의 $F_n$은 "좋은 집합"이고 서로소(mutually disjoint)이므로,

\[ \begin{aligned} \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \right) &= \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \cap F_1 \right) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \cap F_1^c \right) \\ &= \mu^*( A \cap F_1 ) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=2}^{k} F_n \right) \right) \\ &= \mu^*( A \cap F_1 ) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=2}^{k} F_n \right) \cap F_2 \right) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=2}^{k} F_n \right) \cap F_2^c \right) \\ &= \mu^*( A \cap F_1 ) + \mu^*( A \cap F_2 ) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=3}^{k} F_n \right) \right) \end{aligned} \]

위의 계산을 반복하면, 결국 원하는 결과를 얻는다.

이제 편의상 카라테오도리 확장 정리를 두 부분으로 나누어 각각 증명해보도록 하자.

정리 3.3 카라테오도리 구성(Catatheodory Constuction)

$(\ast)$에서 정의한 $\mathcal{A}$는 $X$ 위에서 $\sigma$-대수이다.

증명. 먼저 $\mathcal{A}$가 $X$ 위에서 대수(algebra)임을 보이자.

1. 임의의 집합 $A \subseteq X$에 대하여,
   \[ \mu^*(A \cap \emptyset) + \mu^*(A \cap \emptyset^c) = \mu^*(\emptyset) + \mu^*(A) = \mu^*(A). \]
   이 성립한다. 따라서 $\emptyset$은 "좋은 집합"이고 $\emptyset \in \mathcal{A}$이다.
2. $E \subseteq \mathcal{A}$, 즉, $E$가 "좋은 집합"이라 하자. 그러면 임의의 집합 $A \subseteq X$에 대하여,
   \[ \begin{aligned} \mu^*(A) &= \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \\ &= \mu^*(A \cap (E^c)^c) + \mu^*(A \cap E^c). \end{aligned} \]
   따라서 $E^c$ 또한 "좋은 집합"이고 $E^c \in \mathcal{A}$이다.
3. $E_1,\, E_2 \in \mathcal{A}$라 하자. 그러면 임의의 집합 $A \subseteq X$에 대하여,
   \[ \begin{aligned} \mu^*(A) &= \mu^*(A \cap E_1) + \mu^*(A \cap E_1^c) \\ &= \mu^*(A \cap E_1 \cap E_2) + \mu^*(A \cap E_1 \cap E_2^c) + \mu^*(A \cap E_1^c \cap E_2) + \mu^*(A \cap E_1^c \cap E_2^c) \\ &\geq \mu(A \cap (E_1 \cup E_2)) + \mu^*(A \cap E_1^c \cap E_2^c) \\ &= \mu(A \cap (E_1 \cup E_2)) + \mu^*(A \cap (E_1 \cup E_2)^c). \end{aligned} \]
   이 때 위 부등식을 얻기 위해 아래의 사실을 이용하였다.
   \[ E_1 \cup E_2 = (E_1 \cap E_2) \cup (E_1 \cap E_2^c) \cup (E_1^c \cap E_2). \]
   따라서 정의에 의해 $E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}$를 얻는다.

결과적으로 (i), (ii), (iii)에 의해, $\mathcal{A}$는 대수가 되기 위한 조건을 모두 만족한다. 이제 $\mathcal{A}$가 $\sigma$-대수임을 보이기 위하여 (iv)를 보이자.

4. $\mathcal{A}$의 집합열 $\{E_n\}_{n=1}^{\infty}$을 택하자. 그러면 임의의 $n \in \N$에 대하여 ($E_n$이 "좋은 집합"이므로),
   \[ \mu^*(A) = \mu^*(A \cap E_n) + \mu^*(A \cap E_n^c), \quad \forall\, A \subseteq X. \]
   를 얻는다. 또한
   \[ \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( E_n \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k \right) \right), \quad \text{where } E_0 = \emptyset. \]
   이제 $F_n = E_n \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k \right)$로 정의하자. 그러면 모든 $F_n$들은 서로소이다. 또한 $\mathcal{A}$가 대수라는 사실로부터 ($F_n$은 $E_k$들의 유한번의 집합 연산으로 정의되었기 때문에) 각각의 $F_n$이 "좋은 집합"임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $k \in \N$에 대하여
   \[ \biguplus_{n=1}^{k} F_n \in \mathcal{A} \]
   가 성립한다. 이제 보조정리 3.2를 이용하면,
   \[ \begin{aligned} \mu^*(A) &= \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \right) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right)^c \right) \\ &= \sum_{n=1}^{k} \mu^*(A \cap F_n) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right)^c \right) \\ &\geq \sum_{n=1}^{k} \mu^*(A \cap F_n) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right)^c \right) \end{aligned} \]
   를 얻는다. 여기서 우변의 부분합(partial sum)은 (부분합의 각 항 $\mu^*(A \cap F_n)$가 음이 아니므로) 증가수열이고 ($\mu^*(A)$에 의해) 위로유계이기 때문에 이 부분합의 극한이 존재한다. 이제 $k \to \infty$로 보내고 외측도의 성질을 이용하면,
   \[ \begin{aligned} \mu^*(A) &\geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A \cap F_n) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right)^c \right) \\ &\geq \mu^*\left( \biguplus_{n=1}^{\infty} (A \cap F_n) \right) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right)^c \right) \\ &= \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right) \right) + \mu^*\left( A \cap \left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right)^c \right) \end{aligned} \]
   이는 $\biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \in \mathcal{A}$임을 의미한다. 따라서 $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{A}$를 얻는다.

따라서 (i), (ii), (iv)에 의하여 $\mathcal{A}$는 $\sigma$-대수이다.

정리 3.4 카라테오도리 구성(Caratheodory Construction)

$\mu = \mu^* |_{\mathcal{A}}$는 $(X,\, \mathcal{A})$에서 완비측도(complete measure)이다.

증명. $\mu = \mu^* |_{\mathcal{A}}$라 정의하자. 즉, 임의의 $E \in \mathcal{A}$에 대하여, $\mu(E) = \mu^*(E)$로 정의하자. 먼저 $\mu$가 $\mathcal{A}$에서 측도(measure)임을 보이자.

1. $\emptyset \in \mathcal{A}$이므로 $\mu(\emptyset) = \mu^*(\emptyset) = 0$가 성립한다.
2. $\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$가 $\mathcal{A}$의 서로소인 집합열이라 하자. $A=X$라 하고 보조정리 3.2를 적용하면,
   \[ \mu^*\left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) = \sum_{n=1}^{k} \mu^*(F_n). \]
   를 얻는다. 또한 $\biguplus_{n=1}^{k} F_n \in \mathcal{A}$이므로,
   \[ \begin{aligned} \mu\left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right) &\geq \mu\left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) = \mu^*\left( \biguplus_{n=1}^{k} F_n \right) \\ &= \sum_{n=1}^{k} \mu^*(F_n) = \sum_{n=1}^{k} \mu(F_n). \end{aligned} \]
   이제 $k \to \infty$로 보내자. 그러면,
   \[ \mu\left( \biguplus_{n=1}^{\infty} F_n \right) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(F_n). \]
   를 얻는다. 또한 반대방향의 부등식은 언제나 성립하므로, 결국 위 부등식은 등식이 되고 원하는 결과를 얻는다.

따라서 (i)과 (ii)에 의하여 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$는 측도공간임을 알 수 있다. 마지막으로 측도공간 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$이 완비임을 보이자.

3. $E \subseteq N \in \mathcal{A}$이고 $\mu(N) = 0$라 가정하자. 이제 $E \in \mathcal{A}$임을 보이기 위하여, 임의의 부분집합 $A \subseteq X$를 택하자. 그러면 $A \cap E \subseteq A \cap N \subseteq N$가 성립하므로,
   \[ \mu^*(A \cap E) \leq \mu^*(N) = \mu(N) = 0. \]
   를 얻는다. 따라서
   \[ \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) = \mu^*(A \cap E^c) \leq \mu^*(A). \]
   그러므로 $E \in \mathcal{A}$를 얻는다.

결과적으로 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$는 완비측도공간이다.

1. 여기서의 "좋은 집합"은 올바른 수학용어는 아니나, 가측집합이라는 수학 용어가 기존의 정의에 혼란을 줄 수 있기 때문에 좋은 집합이라는 용어를 쓰기로 한다. [본문으로]