[퍼온글] 정다각형의 대각선의 길이

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2010/12/22/1862

몇달전에 공부하는 과정에서 $r_i^2 = 1+r_{i-1} r_{i+1}$ 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이 때문에 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다.

정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 $\sqrt{2}$가 됨을 보일수 있다. "$\sqrt{2}$는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.

정오각형의 대각선의 길이

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것은 잘 알려진 사실이다.

\[ \frac{b}{a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]

정오각형의 한 변의 길이가 $1$인 경우, 즉 $a=1$인 경우, 대각선의 길이 $b$는 황금비가 된다.

증명. 삼각형 $ABD$에서 선분 $AC$는 각 $A$의 이등분선이다. (각 $DAC$와 각 $CAB$가 같은 길이를 갖는 두 현 $DC$와 $BC$의 원주각이기 때문) $AC$와 $BD$의 교점을 $E$라 하자. 그러면 각의 이등분선의 성질에 의해, $AB : AD = BE : DE$, 즉, $a : b = b-a : a$가 성립한다. 따라서

\[ b^2 - ab - a^2 = 0 \]

이제 위 식을 $a^2$으로 나누고 $b/a$에 대한 이차방정식을 풀면 원하는 결과를 얻는다.

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

정리. (톨레미의 정리 (Ptolemy's theorem))

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 위 그림에서 $\overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{AD}$가 성립한다.

이제 톨레미의 정리를 응용하여 정오각형의 대각선의 길이를 다시 한번 구해보자.

톨레미의 정리를 아래의 그림에 적용해 보면,

사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 $AC$와 $BD$의 길이의 곱으로부터 $\overline{AC} \cdot \overline{BD} = b^2$을 얻고, $\overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{AD} = a^2+ab$를 얻을 수 있다. 따라서 톨레미의 정리에 의해 $b^2 - ab - a^2 = 0$을 얻을 수 있다.

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 $1$인 정육각형의 대각선의 길이는 $\sqrt{3}$ 또는 $2$가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.

정칠각형의 대각선의 길이

정칠각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

정칠각형의 한변의 길이를 $r_0=1$라 두고, 대각선의 길이 중 짧은 것을 $r_1$, 긴 것을 $r_2$라 하자. 이제 사각형 $ABCD$, $ACDE$, $ACDG$에 각각 톨레미의 정리를 적용하면,

\[ r_1^2 = 1+r_2, \quad r_2r_1 = r_1+r_2, \quad r_2^2 = r_2r_1+1 \]

와 같은 관계를 얻을 수 있다. 위 세 식을 이용하여 변수 하나를 소거하면, $r_1$은 $x^3-x^2-2x+1=0$의 해이고, $r_2$은 $x^3-2x^2-x+1=0$의 해가 됨을 알 수 있다. 따라서 3차 방정식을 풀면 각 대각선의 길이를 구할 수 있다.

정다각형의 대각선의 길이에 대한 일반적인 정리들

한변의 길이가 $1$인 정$n$각형의 대각선의 길이는 아래 그림에서와 같이 순서대로 $r_0,\, r_1,\, \ldots,\, r_{n-2}$로 나타내면, 사인 정리를 이용하여

\[ r_i = \frac{\sin\left( \frac{(i+1)\pi}{7} \right)}{\sin\left( \frac{\pi}{7} \right)}, \quad i = 0,\, 1,\, \ldots,\, n-2 \]

가 됨을 보일 수 있다. 이 사실을 이용하면 대각선의 길이가 여러가지 흥미로운 항등식을 만족시킨다는 것을 알 수 있다.

예를 들어 $0 \leq k \leq h < n/2$인 경우,

\[ r_hr_k = r_{h-k} + r_{h-k+2} + \cdots + r_{h+k} \]

가 성립한다. 여기서 우변은 $k+1$개항의 합이다. 리대수(Lie algebra)의 표현론(representation theory)을 공부해본 사람이라면, 비슷한 점을 발견할 수 있을 것이다.

또한 이 점화식을 이용하면, 1\leq i \leq n-3$인 경우, $r_i^2 = 1+r_{i-1}r_{i+1}$이 성립하는 것을 보일 수 있다. 이는 제2종 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomials of the second kind)이 만족시키는 항등식 $U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)$를 닮았다. 이러한 현상들을 어떻게 이해하면 좋을까?