주요 급수전개 정리

테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법중 하나이다. 이 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 그레고리(James Gregory)가 시초지만 1715년 이후, 영국의 수학자 테일러(Brook Taylor)에 의해 널리 알려지게 되었다. 먼저 테일러 급수의 정의에 대해서 알아보도록 하자.

주어진 함수 $f(x)$가 임의의 실수 $a$를 포함하는 구간에서 무한번 미분 가능(infinitely differentiable)하다고 하자. 이때, $a$를 중심(center)으로 갖는 $f(x)$의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} f(x) & = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n} \\ & = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3} + \cdots \end{align*} $$

또한 테일러 급수의 특별한 경우로, 스코틀랜드의 수학자 맥클로린(Colin Maclaurin)은 중심(center)이 0인 경우($a=0$)를 맥클로린 급수(Maclaurin series)라 명명하였는데 이는 수학분야에서 굉장히 많은 분야에 응용된다. 이번 포스트에서는 몇 가지 중요한 맥클로린 급수(Mclaurin series)를 모아서 정리해 보았다. 다음의 급수들은 주어진 범위를 만족하는 모든 복소수에서 성립한다.

1. 지수함수(Exponential Functions) 

• $\displaystyle e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} \quad\text{ for all } x $

2. 로그함수(Logarithmic Functions)

• $\displaystyle \log(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n\quad\text{ for } |x| < 1 $

• $\displaystyle \log(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\quad\text{ for } |x| < 1 $

3. 기하급수(Geometric Series)

• $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0} x^n\quad\text{ for }|x| < 1 $

• $\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=0} nx^n\quad\text{ for }|x| < 1 $

• $\displaystyle \frac{2x^2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=0} (n-1)nx^n\quad\text{ for }|x| < 1 $

4. 이항급수(Binomial Series)

• $\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\text{ for all }|x| < 1 \text{ and all complex } \alpha $
  여기서 ${\alpha\choose n}$ 은 이항계수(binomial coefficient)로써 다음을 나타낸다.
  $$ {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$

5. 삼각함수(Trigonometric Functions)

• $\displaystyle \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\quad\text{ for all } x $

• $\displaystyle \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\quad\text{ for all } x $

• $\displaystyle \tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\quad\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2} $

6. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)

• $\displaystyle \arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1 $

• $\displaystyle \arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1 $

• $\displaystyle \arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1, x\not=\pm i $

7. 쌍곡함수(Hyperbolic Functions)

• $\displaystyle \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\text{ for all } x $

• $\displaystyle \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\text{ for all } x $

• $\displaystyle \tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} \quad\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2} $