Problems and Solutions #021

Problem #021

임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $n$개의 연속한 합성수가 반드시 존재함을 보여라.

주어진 양의 정수 $n$과 양의 정수 $1 \leq k \leq n$에 대하여, $A_{n,k}$를 다음과 같이 정의하자.

\[ A_{n,k} = (n+1)! + k + 1\]

만약 $A_{n,k}$가 모두 합성수임을 보일 수 있으면 증명이 완료된다. 이제 $A_{n,k}$를 정리하면

\[ A_{n,k} = (k+1) \left( \frac{(n+1)!}{k+1} + 1 \right) \]

위 식의 우변의 괄호 안의 식은 언제나 정수이고 $k+1 \geq 2$이므로, 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $A_{n,k}$는 합성수임을 알 수 있다.