적당한 각 $\theta$에 대하여, 다음의 식이 성립한다고 가정하자.
\[ \tan \theta + \sec \theta = 2017. \tag*{$(\ast)$} \]
이 때, $\cot \theta + \csc \theta$의 값을 구하여라.
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먼저 식 $(\ast)$의 양변에 $\tan \theta - \sec \theta$를 곱해주면,
\begin{align*} 2017(\tan \theta - \sec \theta) &= (\tan \theta + \sec \theta)(\tan \theta - \sec \theta) \\ &= \tan^2 \theta - \sec^2 \theta \\ &= -1 \end{align*}
을 얻는다. 위 식을 정리하면,
\[ \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{2017}. \tag*{$(\ast\ast)$} \]
이제 연립방정식 $(\ast)$, $(\ast\ast)$를 풀어주면,
\[ \tan \theta = \frac{2017^2 - 1}{2 \cdot 2017}, \qquad \sec \theta = \frac{2017^2 + 1}{2 \cdot 2017} \]
를 얻는다. 이 때, $\tan \theta$와 $\sec \theta$의 값이 모두 양수이므로, (각 $\theta$는 제 1사분면에 위치해야 하고, 따라서) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$임을 알 수 있다. 이를 바탕으로 $\cot \theta$와 $\csc \theta$의 값을 각각 구해보면,
\begin{align*} \cot \theta &= \frac{1}{\tan \theta} = \frac{2 \cdot 2017}{2017^2 - 1}, \\ \csc \theta &= \cot \theta \cdot \sec \theta = \frac{2 \cdot 2017}{2017^2 - 1} \cdot \frac{2017^2 + 1}{2 \cdot 2017} = \frac{2017^2 + 1}{2017^2 - 1} \end{align*}
그러므로,
\begin{align*} \cot \theta + \csc \theta &= \frac{2 \cdot 2017}{2017^2 - 1} + \frac{2017^2 + 1}{2017^2 - 1} = \frac{2 \cdot 2017 + 2017^2 + 1}{2017^2 - 1} \\ &= \frac{(2017 + 1)^2}{2017^2 - 1} = \frac{(2017 + 1)^2}{(2017 + 1)(2017 - 1)} = \frac{2017 + 1}{2017 - 1} = \frac{1009}{1008}. \end{align*}
따라서 $\cot \theta + \csc \theta = \frac{1009}{1008}$을 얻는다.
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