$1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 만든 여섯자리 수는 $11$의 배수가 될 수 없음을 보여라.
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여섯자리의 수를 편의상 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$으로 나타내기로 하자. 그러면 문제의 조건에 의하여
\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 21 \tag{1} \]
임을 알 수 있다. 또한 이 수가 $11$의 배수여야 하므로, $11$의 배수 판정법에 의하여
\[ - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 \equiv 0 \pmod{11} \tag{2}\]
을 만족해야 한다. 하지만 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$는 $1$부터 $6$까지의 숫자들 중 하나이므로
\[ -9 \leq - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 \leq 9 \tag{3} \]
임을 몇번의 숫자 대입을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $(2)$와 $(3)$에 의해
\[ - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 = 0 \tag{4} \]
을 얻는다. 이제 $(1)$과 $(4)$를 변변끼리 더하면, $2(a_2 + a_4 + a_6) = 21$을 얻는데, 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순이 발생한다. 따라서 $1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 $11$의 배수가 되는 여섯자리 수를 만들 수 없다.
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