$a-b$는 소수이고 $ab$가 완전제곱수가 되게 하는 양의 정수 쌍 $(a,\, b)$를 모두 찾아라.
적당한 소수 $p$와 양의 정수 $N$에 대하여, $a-b = p$이고 $ab = N^2$이라 하자. 우선 $\gcd(a,\,b)$가
$a-b$를 나누므로, $\gcd(a,\,b)=1$ 또는 $\gcd(a,\,b) = p$여야만 한다.
$\gcd(a,\,b)=1$인 경우, $a$와 $b$가 서로소이므로 $ab=N^2$이라는 가정으로부터 ($a$와 $b$가
공통 인수를 가지지 않으므로, $a$와 $b$의 모든 인수들이 모두 짝수번씩 나타나게 되어) $a=m^2$, $b=n^2$과 같이 나타낼
수 있다. 이제
\[ p = a-b = m^2 - n^2 = (m-n)(m+n). \]
라는 사실로부터 $m-n = 1$과
$m+n = p$를 얻는다. 여기서 $p=2$인 경우는 모순이 발생하고, $p>2$인 경우,
\[ (a,\,b) =
((n+1)^2,\, n^2), \quad p = 2n+1 \]
와 같이 나타낼 수 있다.
$\gcd(a,\,b) = p$인 경우, $a=pc$, $b=pd$와 같이 나타낼 수 있다. 이제 $a-b = p(c-d)$가
소수여야 하므로 $c-d = 1$이 되는데, 그러면 $ab = p^2cd = p^2d(d+1)$을 얻는다. 하지만 $d$와 $d+1$은 연속인 두 수이므로 이 수의 곱이 완전제곱수가 될수 없고, 따라서 $ab$ 또한 완전제곱수가 될 수 없어 모순이 발생한다.
