1부터 n까지 자연수의 제곱의 합에 관한 시각적 증명

※ 출처 - http://hyrodium.tumblr.com/post/109000595139/

   

   

   

증명. 각각의 색상에 대하여, 부피가 $k^2$ ($1 \leq k \leq n$)인 상자 여섯개씩이 사용되었다. 따라서 전체 상자의 부피는

\[ 6 \cdot 1^2 + 6 \cdot 2^2 + \cdots + 6 \cdot n^2 = 6(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2). \]

이제 이 전체 상자의 각 변의 길이는 각각 $n$, $n+1$, $2n+1$이므로

전체 상자의 부피는 $n(n+1)(2n+1)$로 구할 수 있다. 따라서 다음의 공식이 성립한다.

\[ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]