$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$에 대한 몇 가지 증명

고등학교에서 삼각함수를 배우면 가장 먼저 배우는 항등식

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \tag*{$(\ast)$}\]

에 대해서 생각해 보자. 아마 식 $(\ast)$을 피타고라스 정리의 이용하여 증명하는 방법을 배웠을 것이다. 이번 글에서는 식 $(\ast)$에 대한 몇 가지 다른 증명 방법들에 대해서 알아보고자 한다.

정리.

임의의 실수 $x \in \R$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

증명1. 함수 $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$를 정의하자. 이제 $f$를 미분하면

\[ f'(x) = 2 \sin x \cos x - 2 \cos x \sin x = 0 \]

따라서 $f$는 상수함수, 즉, $f(x) = C$를 얻는다. 한편 $f(0) = 1$이므로 $C = 1$이 되어 $f(x) = 1$임을 알 수 있다. 따라서 주어진 등식이 성립한다.

증명2. 함수 $f(t) = 2 \sin t \cos t$를 치환적분을 이용하여 두가지 방법으로 적분해 보자. 먼저

\[ \int_0^x 2\sin t \cos t \,dt= \int_0^x 2\sin t (\sin t)' \,dt = \sin^2 x \]

한편,

\[ \int_0^x 2\sin t \cos t \,dt= - \int_0^x 2\cos t (\cos t)' \,dt = - \cos^2 x + 1 \]

이제 위 두 식을 변변끼리 빼주면

\[ 0 = \sin^2 x + \cos^2 x - 1 \]

따라서 주어진 등식이 성립한다.

증명3. 오일러 정리에 의하면, 임의의 실수 $x$에 대하여

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

가 성립한다. 이제 $i^2 = -1$이라는 사실로부터

\begin{align*} \sin^2 x + \cos^2 x &= \sin^2 x - i^2 \cos^2 x \\[5pt] &= \sin^2 x - (i \cos x)^2 \\[5pt] &= (\sin x + i \cos x)(\sin x - i \cos x) \\[5pt] &= (\sin x + i \cos x)(\sin (-x) + i \cos (-x)) \\[5pt] &= e^{ix} e^{-ix} \\[5pt] &= 1 \end{align*}

를 얻는다.

증명4. 임의의 복소수 $z \in \C$에 대하여 삼각함수를 아래와 같이 정의한다.

\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \]

따라서 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여,

\begin{align*} \sin^2 x + \cos^2 x &= \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^2 + \left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^2 \\[5pt] &= - \frac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{4} + \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} \\[5pt] &= \frac{2 + 2}{4} \\[5pt] &= 1 \end{align*}

이 성립한다.

증명5. 아래와 같이 행렬을 정의하자.

\[ A(x) = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix} \]

그러면 삼각함수의 덧셈법칙에 의해 $A(x)A(y) = A(x+y)$가 성립하고, 특히 임의의 자연수 $n \in N$에 대하여 $A(x)^n = A(nx)$가 성립함을 확인할 수 있다. 이제 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여 $\tfrac{2\pi}{x}$ 또한 실수이므로, $\tfrac{2\pi}{x}$로 수렴하는 유리수 수열 $(\tfrac{a_n}{b_n})$을 생각할 수 있다. 나아가 $a_n \to \infty$라 가정할 수 있다. 따라서 충분히 큰 자연수 $n \in \N$에 대하여,

\[ A(x)^{a_n} = A(a_nx) \approx A(b_n 2\pi) = I \]

여기서 $I$는 단위행렬이다. 이제 위 식에 행렬식을 취하면

\[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^{a_n} \approx 1 \]

위 식이 충분히 큰 자연수 $n \in \N$에 대하여 언제나 성립해야 하므로, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$이어야 함을 알 수 있다.