시커만 주사위(Sicherman dice)

두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를 $(1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6)$으로 나타내도록 하자. 이제 두 주사위를 각각 굴려서 나온 두 수의 합을 구해보면 이 합은 2부터 12까지의 모든 수가 가능함을 알 수 있는데, 각각의 수가 나오는 경우의 수를 구해보면 다음과 같다.

합	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
경우의 수	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다.

1. 2개의 주사위는 동일하지 않다.
2. 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다.
3. 2개의 주사위를 굴려서 나온 두 수의 합의 경우의 수의 분포가 위의 표와 같다.

위 세 조건을 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하게 존재하는데, 이를 제일 처음 발견한 시커만(George Sicherman)의 이름을 따서 시커만 주사위(Sicherman dice)라 한다. 시커만 주사위는 각각 $(1,\, 2,\, 2,\, 3,\, 3,\, 4)$-주사위와 $(1,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 8)$-주사위이다. 실제로 시커만 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수를 구해보면 다음과 같다. 

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

	1	2	2	3	3	4
1	2	3	3	4	4	5
3	4	5	5	6	6	7
4	5	6	6	7	7	8
5	6	7	7	8	8	9
6	7	8	8	9	9	10
8	9	10	10	11	11	12

위 두개의 표를 보면 알 수 있듯이 일반적인 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수와 시커만 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수는 정확하게 일치함을 알 수 있다.

이제 시커만 주사위의 존재성과 유일성을 증명해 보도록 하자. 증명은 생성함수(generating function)를 이용할 것이다.

정리. 시커만 주사위(Sicherman dice)

위 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위는 시커만 주사위가 유일하다.

증명. 먼저 일반적인 주사위 $(1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6)$의 생성함수 $f(x)$는 다음과 같다.

\[  f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \]

여기서 $x^n$의 계수는 주사위에서 $n$개의 점이 찍혀있는 면의 개수를 의미한다. 이제 일반적인 주사위 2개를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수를 구하기 위하여 $f^2(x)$를 구해보면

\[ \begin{align*} f^2(x) &= (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \\[5px] &= x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + 5x^6 + 6x^7 + 5x^8 + 4x^9 + 3x^{10} + 2x^{11} + x^{12} \end{align*} \]

를 얻는다. 위 생성함수를 보면, $x^n$의 계수가 두 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합이 $n$인 경우의 수와 같음을 확인할 수 있다.

이제 위 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위의 생성함수를 각각 $g(x)$, $h(x)$라 하자. 먼저 조건 (a)에 의하여 $g(x) \neq h(x)$여야만 함을 알 수 있다. 또한 조건 (b)에 의하여 $g(0) = h(0) = 0$이어야 한다. 만약 $g(x)$나 $h(x)$에 상수항이 존재한다면, 이는 주사위에 점이 찍혀 있지 않는 면이 존재한다는 뜻이기 때문에 조건 (b)를 만족하지 못하기 때문이다. 또한 각 주사위는 6개의 면을 가지고 있기 때문에, $g(x)$와 $h(x)$의 계수들의 합을 각각 구하면 둘 다 $6$이 되어야 한다. 따라서 $g(1) = h(1) = 6$을 만족해야만 한다. 이를 종합하면,

\[ g(x) \neq h(x), \quad g(0) = h(0) = 0, \quad g(1) = h(1) = 6 \tag*{$(\ast)$} \]

마지막으로 2개의 주사위가 조건 (c)를 만족하기 위해서는 $f^2(x) = g(x)h(x)$여야 한다. 이제 $f^2(x)$을 인수분해하면, 

\[ \begin{align*} f^2(x) &= (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \\[5px] &= x^2 (x+1)^2 (x^2 + x + 1)^2 (x^2 - x + 1)^2 \end{align*} \]

를 얻는다. 따라서 $f^2(x)$의 인수를 $g(x)$와 $h(x)$ $(\ast)$를 모두 만족하도록 적절히 분배해야 한다. 먼저 $f^2(x)$에 $x=1$을 대입하면, 

\[ f^2(1) = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 1^2 = g(1)h(1) \]

이 되어야 하므로 $g(x)$와 $h(x)$는 모두 인수 $(x+1)(x^2 + x + 1)$을 가져야 한다. 또한 $g(0) = h(0) = 0$라는 사실로부터 $g(x)$와 $h(x)$는 모두 $x$를 인수로 가져야 함을 알 수 있다. 그러므로 $f^2(x)$의 인수를 $g(x)$와 $h(x)$ $(\ast)$를 모두 만족하도록 분배하는 방법은 아래의 방법이 유일함을 알 수 있다.

\[ \begin{align*} g(x) &= x(x+1)(x^2 + x + 1) \\[5px] h(x) &= x(x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)^2 \end{align*} \]

위 식을 각각 전개하면,

\[ \begin{align*} g(x) &= x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 \\[5px] h(x) &= x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8 \end{align*} \]

를 얻는다. 따라서 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하고 이는 각각 $(1,\, 2,\, 2,\, 3,\, 3,\, 4)$와 $(1,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 8)$임을 알 수 있다.

위 시커만 주사위 문제를 확장하여 다음과 같은 문제도 생각해 볼 수 있다.

1. $k$개의 일반적인 주사위를 각각 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 $k$개의 (일반적이지 않은) 주사위를 찾을 수 있을까?
2. $2$개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 $2$개의 서로 다른 정다면체 주사위를 찾을 수 있을까?
3. $2$개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 $2$면체 주사위(동전)와 $18$면체 주사위가 존재할까? 혹은 $3$면체 주사위와 $12$면체 주사위, 또는 $4$면체 주사위와 $9$면체 주사위가 존재할까?