[이전문서] N×N×N 큐브의 경우의 수 유도 - 3×3×3 큐브

written by jjycjn   2014.07.19 12:46

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.




2. 3×3×3 큐브의 경우의 수 유도

경호형이 따로 설명해 놓은 글이 있기 때문에, 따로 설명하지는 않으려고 했는데, 경우의 수를 세는 접근 방법에서 약간 차이가 있기 때문에 간단하게 설명하고 넘어가겠습니다. 경호형 글의 경우, 먼저 센터 조각들의 위치를 고정시켜 주었었죠? 저는 경우의 수를 유도하는데 있어서 통일성을 위해서 일단 무조건 코너 조각을 기준으로 경우의 수를 판단해 나가겠습니다. 일단 코너 조각들 위치와 방향의 경우의 수는 2×2×2 큐브의 경우의 수와 같으므로,

\[7! \times 3^{6} \]

가 되겠죠. 이제 센터 조각들을 살펴 봅시다. 편의상 흰색 센터 조각을 먼저 위치시킨다고 생각해 봅시다. 흰색 센터조각의 위치를 정하고 나면 자동적으로 노란색 센터 조각의 위치도 고정되게 되겠죠?

이제 나머지 네 조각의 위치를 생각해 봅시다. 예를들어 흰색과 노란색 센터 조각이 고정된 상태에서 빨간색 센터 조각의 위치를 정하고 나면 나머지 세개의 센터 조각의 위치도 자동적으로 정해지게 됩니다. 따라서 결과적으로 흰색 센터조각과 빨간색 센터 조각의 위치만 고려해 주면 되겠군요. 흰색 센터조각이 놓일 수 있는 위치의 경우의 수는 총 6가지, 흰색과 노란색 센터 조각이 고정된 후에 빨간색 센터 조각이 놓일 수 있는 위치의 경우의 수는 총 4가지 이므로, 전체 경우의 수는 ,

\[ 6 \times 4 = 24 \]

가 됩니다.

이제 엣지 조각들을 봅시다. 경호형이 자세히 설명해 놓았으므로 따로 설명 드리지는 않겠습니다. 마지막 엣지 조각 두조각은 코너 조각의 위치에 종속되므로, 총 10개의 엣지 조각의 위치만 고려하면 되고, 마지막 엣지 조각 한조각의 방향은 다른 11개의 엣지 조각의 방향에 종속되므로, 총 11개의 엣지 조각의 위치만 고려하면 됩니다. 이를 식으로 나타내면,

\[_{12}P_{10} \times 2^{11} \]

가 되겠죠? 이 식을 전개하여 정리하면 다음과 같이 됩니다.

\[12! \times 2^{10} \]

따라서 3×3×3 큐브의 경우의 수는,

\[ \left( 7! \times 3^{6} \right) \times 24 \times \left( 12! \times 2^{10} \right) \]

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  1. 서지민    2016.09.11 09:11 신고 M/D R

    이 자료를 영재원 보고서에 사용해도 될까요?

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.09.12 04:02 신고 M/D

      넵! 마음껏 사용하셔도 됩니다.

  2.    2016.09.12 16:14 M/D R

    비밀댓글입니다

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.09.15 10:49 신고 M/D

      싸이월드에 접속을 해보려고 했는데, 비밀번호가 기억이 나질 않네요. 지금 사는 곳이 해외라 비밀번호 찾기도 불가능합니다... 그냥 김경호님이 계산하신 방법을 간단히 설명해 드리자면, 센터 조각을 고정한 채, 코너와 엣지 조각이 놓일 수 있는 경우의 수를 다 따진 건데, 일단 코너 조각의 위치는 $8!$이고, 코너 조각의 방향은 (마지막 코너 조각의 방향이 다른 7개 조각의 방향에 종속되므로) $3^7$이 됩니다. 엣지 조각은 (이미 센터와 코너 조각을 고려했으므로) 똑같이 $12! \times 2^{10}$가지가 나옵니다. 따라서 총 경우의 수는 $8! \times 3^7 \times 12! \times 2^{10}$이 되겠네요. 결국 똑같은 결과가 나옵니다.

  3. Favicon of http://lhj1086.tistory.com LHJ1086    2016.10.02 00:50 신고 M/D R

    혹시 큐브의 조각에서코너조각은 7조각을 맞추게 되면 1조각이 자동적으로 결정되고 모서리 조각에서는 10조각을 맞추게 되면 2조각의 위치가 결정 되는 이유를 이론적으로 알려주실 수 있으실까요?

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.10.02 05:52 신고 M/D

      댓글로 설명이 될지는 모르겠지는 모르겠지만, 최대한 간단하게 설명해 드리자면, 일단 제가 큐브의 경우를 세는 과정에서 하나의 코너 조각이 언제나 이미 맞추어져 있다고 가정을 하고 시작했기 때문에, 코너조각의 위치는 나머지 7조각만 고려하면 됩니다.

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.10.02 05:56 신고 M/D

      엣지 조각의 경우는 조금 더 복잡한데, 대수학에서 짝치환(even permutation)이라는 개념을 알아야 합니다. 엣지 조각의 위치는 (코너조각의 위치와 함께) 언제나 짝치환이 되어야만 하는데, 만약 두 엣지 조각의 위치가 서로 뒤바뀐 경우 홀치환(odd permutation)이 되어 올바른 상태가 아니게 됩니다. 따라서 일단 엣지 큐브 10조각의 위치를 결정해주면, 짝치환을 유지하기 위해서 나머지 두 엣지 조각의 위치가 자동으로 결정되게 됩니다.

  4. Favicon of http://lhj1086.tistory.com lhj1086    2016.10.02 13:25 신고 M/D R

    알려주셔서 감사합니다.

  5. Favicon of http://lhj1086.tistory.com lhj1086    2016.10.02 16:39 신고 M/D R

    그럼 색깔이 정해지는 이유에 대해서도 설명해 주실수 있으신가요?

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.10.02 23:08 신고 M/D

      (편의상 모든 조각이 제 위치에 있다고 가정하고) 엣지조각의 방향이 맞으면 $0$, 뒤집어져 있으면 $1$이라고 합시다. 그러면 모든 엣지조각의 방향이 맞으면 숫자의 합은 $0$이 되겠죠? 나아가 큐브를 어떻게 회전하더라도 엣지조각의 방향성의 합은 $0 \pmod 2$를 만족해야 합니다. 따라서 엣지조각 11개의 방향이 결정되면 방향성의 합을 유지하기 위해 나머지 한 조각의 방향은 자동으로 결정됩니다.

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2016.10.02 23:10 신고 M/D

      코너조각의 경우도 마찬가지로 방향이 맞으면 $0$, 시계방향으로 뒤틀려 있으면 $1$, 반시계방향으로 뒤틀려 있으면 $2$로 방향성을 정의합니다. 그러면 모든 코너조각들의 방향성의 합은 언제나 $0 \pmod 3$을 만족해야 합니다. 따라서 마지막 코너조각의 방향은 다른 7개의 코너조각의 방향에 언제나 종속되게 됩니다.

    • lhj1086    2016.10.02 23:12 신고 M/D

      지금까지 질문한거 다 답변해주시기 힘드셨을텐데 감사합니다.

  6.    2017.11.07 16:09 M/D R

    비밀댓글입니다

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2017.11.08 00:21 신고 M/D

      위에도 댓글을 달기는 했지만 10개의 엣지조각의 위치가 결정되면 나머지 2개의 엣지 조각의 위치가 자동적으로 결정 되는 이유를 설명하려면, 대수학에서 짝치환(even permutation)이라는 개념을 알아야 합니다. 자세한 내용은 대학수학 2-3 학년 과정을 수강해야 설명이 가능해서 댓글로는 힘들것 같네요...

  7.    2017.11.08 23:04 M/D R

    비밀댓글입니다

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2017.11.09 00:39 신고 M/D

      고2 수준에서 설명하자면... 큐브를 여러번 맞추어 보셨다면 아시겠지만, 큐브를 다 맞춘 상태에서 두 엣지 조각의 위치만 뒤바뀐 상태는 큐브를 분해해서 재조립 하지 않고서는 만들 수 없음이 알려져 있습니다. (이를 증명하기 위해서 짝치환의 개념이 필요합니다.)
      따라서 이러한 제약 조건이 없다면 12개의 엣지조각을 배열할 수 있는 경우의 수는 12!인데, 우선 10개의 엣지조각의 위치가 맞추어 지면 나머지 두 조각은 자동적으로 위치가 결정 되어야 하기 때문에, 최종적으로 12!/2가 엣지 조각의 위치의 모든 경우의 수가 됩니다.

    •    2017.11.09 09:38 M/D

      비밀댓글입니다

    • Favicon of http://jjycjnmath.tistory.com jjycjn    2017.11.11 00:21 신고 M/D

      큐브의 성질에 의해서 (큐브를 분해 한 뒤에 재조립하지 않는 이상) 일단 10개의 엣지 조각의 위치가 정해지면 나머지 2조각의 위치가 자동으로 정해진다는 사실까지는 이해하셨나요? 따라서 위 경우의 수는 "12개의 조각 중에서 10 조각을 골라서 임의로 배열하는 경우의 수"와 같습니다. 즉, $_{12}P_{10} = 12!/2$를 얻을 수 있습니다.