Problems and Solutions #034
Problem #034 임의의 실수 $\theta_k \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음을 증명하여라. \[ \prod_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k - \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k \geq 1 - n \] 풀이1. 우선 $a_k = \cos^2 \theta_k$라 하자. 그러면 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $0 \leq a_k \leq 1$이 성립한다. 주어진 부등식은 아래 부등식과 동치이다.\[ \prod_{k=1}^{n} a_k \geq \sum_{k=1}^{n} a_k + 1 - n \]이제 위 부등식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명해 보자. 먼저 $n=1$인 경우 부등식이 성립한다. 또한\begin{align*..