닫힌 유계 집합이지만 긴밀 집합이 아닌 집합
$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다. 정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) $X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서 동시에 유계(bounded)인 집합이다. $S$는 긴밀집합(compact set)이다. 일반적으로 임의의 노름공간 $(X,\, \norm{\cdot})$에서 집합 $S$가 긴밀집합이면, 언제나 $S$는 닫힌 유계집합이다. 이는 긴밀집합의 정의를 통해 간단히 보일 수 있다. 하이네-보렐 정리는 위 $X$가..