jjycjn's Math Storehouse

이번에는 Degree theory와 Brouwer fixed theorem의 다양한 활용성에 대해 살펴보기 위하여, 이들을 이용한 몇 가지 증명을 알아보려고 한다. 먼저 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)를 degree theory를 이용하여 증명해보자. Theorem 4.1 (Fundamental Theorem of Algebra)상수가 아닌 복소수 계수 다항식(polynomial with complex coefficient)은 적어도 하나의 근을 갖는다. 즉, 복소계수 다항식 \[ p(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} = \cdots + a_1 z + a_0, \qquad a_n \neq 0, \quad n \geq 1 \]에 대하여 $p(z..

Brouwer fixed point theorem은 Luitzen Brouwer에 의해 증명된 다음의 정리를 말한다: compact convex set $K$ (따라서, closed unit ball과 equivalent하다)에서 자기 자신으로 가는 모든 continuous mapping $f: K \to K$는 항상 fixed point (즉, 어떤 $x_0 \in K$가 존재하여, $f(x_0) = x_0$)가 존재한다. 이를 실생활에서 이 정리를 적용할 수 있는 예를 살펴보자. 1. 두장의 종이를 준비한다. (두장의 종이에는 무한히 촘촘한 모눈이 그러져 있다고 가정하자) 그 중의 한장의 종이를 자르거나 붙이지 않고 마구마구 구겨준다. 그런 다음에 이 구겨진 종이를 다른 종이 위에 삐져나오지 않도록 ..