Normed Space - 1. Definitions and Examples

1. Definitions and Examples

임의의 실수 $x \in \R$에 대하여, $x$의 절댓값 $\abs{x}$는 $x$가 원점으로 부터 얼마나 떨어져 있는가, 혹은 $x$의 '크기'를 타나내는 함수이다. 이를 일반적인 벡터공간(vector space)로 확장한 개념이 노름(norm)이라는 개념이다. 먼저 노름의 정의부터 살펴보자.

정의 1.1.1

$X$를 체 $\F$ ($\R$ 또는 $\C$) 위의 벡터공간(vector space)라 하자. $X$ 위에서의 노름(norm)은 아래의 조건을 만족하는 함수 $\norm{\cdot} : X \to \R$이다.

(1) 모든 $x \in X$에 대하여 $\norm{x} \geq 0$.

(2) $\norm{x} = 0$이면, 그리고 그 때에만 $x = 0$.

(3) 임의의 $\lambda \in \F$에 대하여 $\norm{\lambda x} = \abs{\lambda} \norm{x}$.

(4) 모든 $x,\, y \in X$에 대하여 $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.

이 경우, $(X,\, \norm{\cdot})$를 노름공간(normed space)이라 한다.

참고. 노름의 정의에 의해, 간단히 $\norm{\cdot} : X \to [0,\,\infty)$임을 알 수 있다.

간단정리 1.1.2

$(X,\, \norm{\cdot})$를 노름공간이라 하자. 그러면,

(1) $\norm{0} = 0$.

(2) $\norm{-x} = \norm{x}$.

(3) $\norm{x-y} = \norm{y-x}$.

(4) $d(x,\,y) = \norm{x-y}$은 $X$ 위에서의 거리(metric)가 된다. 즉,
    ① $d(x,\,y) \geq 0$.
    ② $d(x,\,y) = 0$이면, 그리고 그 때에만 $x=y$.
    ③ $d(x,\,y) = d(y,\,x)$.
    ④ $d(x,\,y) \leq d(y,\,z) + d(z,\,x)$.
    따라서, 노름으로부터 거리함수를 언제나 정의할 수 있다.

(5) $\abs{\norm{x} - \norm{y}} \leq \norm{x-y}$. 이 부등식을 역삼각부등식(reverse triangle inequality)라 부른다. 

정의. (5) 우선 $\norm{x} = \norm{x-y+y} \leq \norm{x-y} + \norm{y}$이 성립하므로, $\norm{x} - \norm{y} \leq \norm{x-y}$를 얻는다. 마찬가지 방법으로 $\norm{y} - \norm{x} \leq \norm{x-y}$ 또한 쉽게 얻을 수 있다. ■

정의 1.1.3

$(X,\, \norm{\cdot})$를 노름공간이라 하자. $X$에서 정의된 순열(sequence) $x_1,\, x_2,\, \ldots$에 대하여 

\[ \norm{x_n - x} \to 0 \quad \text{as} \quad n \to \infty, \]

또는, 거리를 이용하여 $d(x_n,\, x) \to 0$ as $n \to \infty$를 만족하면 $X$에서 주어진 순열이 $x$로 수렴한다(converge)고 한다. 이 경우에, $x_n \to x$와 같이 표기한다.

만약 $X$에서 $x_n \to x$이면, $\R$에서 $\norm{x_n} \to \norm{x}$이 성립한다.

\[ \abs{\norm{x_n} - \norm{x}} \leq \norm{x_n - x} \to 0. \]

따라서 노름은 $\R$에서 연속(continuous)이다.

예제 1.1.4

(1) $X = \R$에서 $\norm{x} = \abs{x}$.

(2) $X = \Rn$의 원소 $x = (x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n) \in \Rn$에 대하여,

① 유클리드 노름(Euclidean norm), 보통노름(usual norm), 또는 2-노름(2-norm):

\[ \textstyle \norm{x}_2 := \left[ \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}^2 \right]^{1/2}. \]

② 1-노름(1-norm): $\norm{x}_1 := \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}$.

③ $\infty$-노름($\infty$-norm): $\norm{x}_\infty := \max_i \abs{x_i}$.

④ $p$-노름($p$-norm): $\norm{x}_p := \left[ \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}^p \right]^{1/p}$, $1 \leq p < \infty$.

또한 예제 (2) 에서 $\R$을 $\C$로 생각하면, $\C$ 위에서의 노름공간을 얻을 수 있다. 이 때, $l_p^n(\R) = (\R,\, \norm{\cdot}_p)$ 와 $l_p^n(\C) = (\C,\, \norm{\cdot}_p)$ 같이 정의하는 공간을 $l_p$ 공간이라 한다..

(3) $1 \leq p < \infty$에 대하여,

\[ l_p(\R) := \set{x = (x_1,\, x_2,\, \ldots)}{x_i \in \R, \ \sum_{i=1}^{\infty} \abs{x_i}^p < \infty}. \]

만약 $p = \infty$이면,

\[ l_p(\R) := \set{x = (x_1,\, x_2,\, \ldots)}{x_i \in \R, \ \sup_i \abs{x_i} < \infty}. \]

그러면 $l_p(\R)$ 위에서, 다음의 노름을 얻는다.

\[ \norm{x}_p := \left[ \sum_{i=1}^{\infty} \abs{x_i}^p \right]^{1/p} \]

간단정리 1.1.5

$1 \leq p \leq \infty$에 대하여 $(l_p(\R),\, \norm{\cdot}_p)$는 노름공간을 이룬다. 이는 아래 민코브스키 부등식(Minkowski inequality)로부터 간단히 증명할 수 있다.

\[ \norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p \quad \text{for all} \ x,\,y \in X. \]

정의 1.1.6

만약 주어진 노름공간에서 모든 코시수열(Cauchy sequence)가 수렴할 때, 이 노름공간을 바나흐 공간(Banach space) 또는 완비노름공간(complete normed space)이라 한다. 다시 말해,

\[ \begin{aligned} & \left( \norm{x_n - x_m} \to 0 \text{ as } n,\,m \to \infty \right) \\  & \qquad \implies \left( \exists\, x \in X \text{ s.t. } x_n \to x \text{ as } n \to \infty \right)  \end{aligned} \]

정리 1.1.7

$1 \leq p \leq \infty$에 대하여 노름공간 $l_p^n(\R)$과 $l_p^n(\C)$, $l_p(\R)$, $l_p(\C)$은 모두 바나흐 공간이다.

증명. 여기서는 $l_2^n(\R) = (\R^n,\, \norm{\cdot}_2)$의 완비성만 증명하도록 하자. 우선 임의의 코시수열 $\{x^i\}_{i=1}^{\infty}$을 생각하자. 그러면 수열의 각 항은 $x^i = (x_1^i,\, \ldots,\, x_n^i)$와 같이 나타낼 수 있다. 우선 $\norm{x^i- x^j} \to 0$ as $i,\,j \to \infty$이기 때문에, 다음을 얻는다.

\[ \Vert x^i - x^j \Vert^2 = (x_1^i-x_1^j)^2 + \cdots + (x_n^i-x_n^j)^2 \to 0. \]

따라서 모든 $k=1:n$에 대하여 $(x_k^i-x_k^j) \to 0$이 성립한다. 이제 $\R$의 완비성에 의해, 각각의 $k=1:n$에 대하여, 수열 $x_k \in \R$이 존재하여 $x_k^i \to x_k$ as $i \to \infty$를 만족한다. 그러므로, $x = (x_1,\, \ldots,\, x_n) \in \R^n$로 정의하면, $x^i \to x$를 얻는다. ■

정의 1.1.8

$\mybar{x} \in X$에 해하여, 다음을 정의한다.

(1) 중심이 $\mybar{x}$이고 반지름이 $\epsilon$인 열린 공(open ball):

\[ B(\mybar{x},\, \epsilon) := \set{x \in X}{\norm{x-\mybar{x}} < \epsilon}. \]

(2) 중심이 $\mybar{x}$이고 반지름이 $\epsilon$인 닫힌 공(closed ball):

\[ B[\mybar{x},\, \epsilon] := \set{x \in X}{\norm{x-\mybar{x}} \leq \epsilon}. \]

(3) 중심이 $\mybar{x}$이고 반지름이 $\epsilon$인 구면(sphere):

\[ S(\mybar{x},\, \epsilon) := \set{x \in X}{\norm{x-\mybar{x}} = \epsilon}. \]

정의 1.1.9

노름공간에서 $(X,\, \norm{\cdot})$ 집합 $E$에 대하여,

\[ x_n \in E \text{ and } x_n \to x \in X \implies x \in E \]

이면 $E$가 닫힌 집합(closed set)이라고 한다.

집합 $G \subseteq X$에 대하여 $G^c := X \setminus G$가 닫혀있으면, $G$는 열린 집합(open set)이라고 한다.

간단정리 1.1.10

(1) 열린 집합들의 임의의 합집합은 열린 집합이다.

(2) 닫힌 집합들의 유한개의 합집합은 닫힌 집합이다.

(3) 열린 집합들의 유한개의 교집합은 열린 집합이다.

(4) 닫힌 집합들의 임의의 교집합은 닫힌 집합이다.

예제 1.1.11

$\R$에서 다음과 같이 $C_\R[a,\,b]$를 정의하자.

\[ C_\R[a,\,b] := \set{f:[a,\,b] \to \R}{\text{$f$ is continuous}}. \]

즉, 이 집합은 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 실함수(continuous real valued function)를 모두 모아 놓은 집합이다. 여기에 합(addition)과 스칼라곱(scalar multiplication)을

\[ \begin{aligned}  (f+g)(t) & := f(t) + g(t) \\  (\lambda f)(t) & := \lambda f(t).  \end{aligned} \]

로 정의하면 $C_\R[a,\,b]$는 $\R$ 위에서의 벡터공간이 된다. 또한, 아래와 같이 노름을 정의할 수 있다.

\[ \begin{aligned}  \norm{f} :&= \sup_{t \in [a,\,b]} \abs{f(t)} \\  & = \max_{t \in [a,\,b]} \abs{f(t)} \ \text{(via extreme value theorem)}  \end{aligned} \]

이 노름을 함수 $f$의 상한 노름(sup-norm) 또는 $\infty$-노름($\infty$-norm)이라 한다. 유사하게 노름공간 $C_\C[a,\,b]$ 또한 정의할 수 있다.

예제 1.1.12

$\R$에서 다음과 같이 $P_\R[a,\,b]$를 정의하자.

\[ P_\R[a,\,b] := \set{f:[a,\,b] \to \R}{\text{$f$ is polynomial}}. \]

그러면 $(P_\R[a,\,b],\, \norm{\cdot}_\infty)$는 노름공간이고 

\[ P_\R[a,\,b] \subseteq C_\R[a,\,b]. \]

를 만족함을 쉽게 알 수 있다. 이제 $(P_\R[a,\,b],\, \norm{\cdot}_\infty)$이 완비가 아님을 보일 것이다. 아래와 같이 함수열 $(f_n)$를 정의하자.

\[ f_n(t) := \sum_{k=0}^{n} \frac{t^k}{k!} = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \cdots + + \frac{t^n}{n!}. \]

그러면 $n > m$일 때,

\[ \begin{aligned}  \norm{f_n = f_m}_\infty & = \sup_{t \in [a,\,b]} \abs{\sum_{k=m+1}^{n} \frac{t^k}{k!}} && \\  & \leq \sup_{t \in [a,\,b]} \sum_{k=m+1}^{n} \frac{\abs{t}^k}{k!} && \\  & \leq \sum_{k=m+1}^{n} \frac{\alpha^k}{k!} && \abs{t} \leq \alpha \text{ on } [a,\,b] \\  & \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{\alpha^k}{k!} + \sum_{k=0}^{m} \frac{\alpha^k}{k!} && \\  & \to 0 && \text{as } n,\,m \to \infty  \end{aligned} \]

따라서 함수열 $(f_n)$은 코시 수열임을 알 수 있다. 하지만 $f_n(t) \to e^t$로 수렴하는데, $e^t$는 다항함수가 아니다.

정의 1.1.13

$V$를 체 $\F$ 위에서의 벡터공간이라 하자. 집합 $B = \{e_1,\,\ldots,\,e_n\}$이 다음을 만족하면 이를 $V$의 기저(basis)라 한다.

(1) $B$는 선형 독립(linearly independent)이다: 만약 $\lambda_i \in \F$와 $e_i \in B$에 대하여 $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i$이면 반드시 $\lambda_i = 0$, $i=1:n$여야 한다.

(2) $B$는 $V$를 생성(span)한다: 임의의 $x \in V$에 대하여, $\lambda_i \in \F$가 존재하여 $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i$를 만족한다.

조른의 보조정리(Zorn's lemma)에 의해, 영이 아닌 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 따라서 공간 $V$의 차원(dimension)을 $V$의 기저의 개수로 정의하고, $\dim(V)$로 나타낸다.