Normed Space - 4. The Dual Space

4. The Dual Space

체 $\F$ 위의 두 노름공간(normed space) $V,\, W$에 대하여, 

\[ \begin{aligned} \mathcal{L}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and continuous}} \\ \mathcal{B}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and bounded}} \\ \end{aligned} \]

와 같이 두 공간을 정의하자. 우리는 앞서 $\mathcal{L}(V,\,W) = \mathcal{B}(V,\,W)$임을 살펴 보았다. 이제 임의의 $L,\, L_1,\, L_2 \in \mathcal{L}(V,\,W)$에 대하여, 다음과 같이 연산과 노름을 정의하자.

\[ \begin{aligned} (L_1 + L_2)(x) &= L_1(x) + L_2(x) \\ (\lambda L_1)(x) &= \lambda L_1(x) \\ \opnorm{L} &= \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{L(x)}}{\norm{x}} = \sup_{\norm{z}=1} \norm{L(z)}. \end{aligned} \]

그러면 $(\mathcal{L}(V,\,W),\, \opnorm{\cdot})$ 또한 노름공간을 이룸을 쉽게 보일 수 있다. 여기서, 임의의 $L \in \mathcal{L}(V,\,W)$에 대한 노름 $\opnorm{L}$을 $L$의 작용소노름(operator norm)이라 부른다.

위의 특수한 경우로, $V=W$라 가정하자. 이 경우, 간단히 $\mathcal{L}(V,\,W) = \mathcal{L}(V)$로 나타내기로 한다. 이제 $\mathcal{L}(V)$에서,

\[ (L_1 \circ L_2)(x) := L_1(L_2(x)). \]

와 같이 정의하면, $L_1 \circ L_2 \in \mathcal{L}(V)$이고 따라서

\[ \begin{aligned} \opnorm{L_1 \circ L_2} &= \sup_{\norm{z}=1} \norm{L_1(L_2(z))} \\ &\leq \opnorm{L_1} \sup_{\norm{z}=1} \norm{L_2(z)} \\ &= \opnorm{L_1} \opnorm{L_2}. \end{aligned} \]

이 성립한다. 그러므로, $\opnorm{L_1 \circ L_2} \leq \opnorm{L_1} \opnorm{L_2}$임을 알 수 있다.

이제, 체 $\F$ ($\F$는 실수체 $\R$ 또는 복소수체 $\C$라 하자) 위에서 $(V,\,\norm{\cdot})$을 정의하자. 먼저 $(\F,\, \abs{\cdot})$는 자기 자신 $\F$ 위에서 정의된 노름공간임을 기억하자. 따라서 아래와 같이 노름공간을 정의할 수 있다.

\[ \mathcal{L}(V,\,\F) = \set{f:V \to \F}{\text{$f$ is linear and continuous}}. \]

정의 1.4.1

$\mathcal{L}(V,\,\F)$를 $V$의 쌍대공간(dual space) (또는 켤레공간(conjugate space))이라 하고 $V^* = \mathcal{L}(V,\,\F)$으로 나타낸다. $V^*$의 각각의 원소들은 연속선형번함수(continuous linear functional)라 부른다. 임의의 $f \in V^*$에 대하여,

\[ \norm{f} = \sup_{x \neq 0} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \sup_{\norm{z}=1} \abs{f(z)}. \]

정리 1.4.2

만약 $W$가 바나흐공간이면, $\mathcal{L}(V,\,W)$ 또한 바나흐공간이다.

증명. $(L_n)_1^\infty$을 공간 $\mathcal{L}(V,\,W)$에서 코시수열(Cauchy sequence)라 하자. 그러면 $m,\,n \to \infty$일 때 $\opnorm{L_m - L_n} \to 0$를 얻는다. 우선 $x \in V$를 고정하자. 그러면

\[ \norm{L_n(x) - L_m(x)} = \norm{(L_m-L_n)(x)} \leq \opnorm{L_m-L_n} \norm{x}. \]

그러므로, $(L_n(x))_1^\infty$는 $W$에서 코시이다. $W$가 바나흐공간이므로, $L_n(x)$는 어떤 $y \in W$로 수렴할 것이다. 이제 $L:V \to W$를 $L(x) = y$와 같이 정의하자. 자명하게 $L$은 선형이다. 

이제, $L$이 유계이고 따라서 연속임을 보일 것이다. 우선

\[ \begin{aligned} \norm{L(x)} &= \norm{\lim_{n \to \infty} L_n(x)} && \\ & = \lim_{n \to \infty} \norm{L_n(x)} && \text{as $\norm{\cdot}$ is continuous}\\ &\leq \lim_{n \to \infty} \opnorm{L_n} \norm{x} && \\ &\leq \mu \norm{x} && \text{for some } \mu>0. \end{aligned} \]

따라서, $L \in \mathcal{L}(V,\,W)$임을 알 수 있다. 

이제 $\opnorm{L_n - L} \to 0$ in $\mathcal{L}(V,\,W)$를 보여보자. $\epsilon>0$이라 하고 $\norm{x} \leq 1$이라 가정하자. 그러면, 모든 $n,\,m \geq N$에 대하여 $\opnorm{L_m - L_n} \leq \epsilon$을 만족하는 충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$이 존재한다. 그러므로

\[ \norm{L_n(x) - L_m(x)} \leq \opnorm{L_m - L_n} \norm{x} \leq \epsilon \norm{x} = \epsilon. \]

$n$을 고정하고 $m \to \infty$의 극한을 취하면

\[ \norm{L_n(x) - L(x)} \leq \epsilon \qquad \text{for} \quad n \geq N. \]

그러므로

\[ \opnorm{L_n - L} = \sup_{\norm{x} \leq 1} \norm{L_n(x) - L(x)} \leq \epsilon. \]

결과적으로, $L_n \to L$ in $\mathcal{L}(V,\,W)$가 성립한다. ■