2017에 대한 신기한 사실들

좀 늦은감이 있지만 올해는 $2011$년 이후 $6$년만에 찾아온 소수의 해이다. 역시나 구글링을 조금 해 보니 소수의 해를 맞이하여 $2017$에 대한 여러가지 신기한 사실들을 정리해 놓은 글을 발견할 수 있었다. 이 글의 원 출처는 여기에서 확인할 수 있다.

아래의 글은 원 출처의 글을 번역하고 거기에 약간의 주석을 덧붙힌 것이다. 또한 원 출처에 있던 사실 이외에 몇 가지 사실을 더 추가하였다.

$2017$에 대한 신기한 사실들

• $2017$은 소수이다.
• $\lfloor 2017\pi \rfloor = 6337$은 소수이다.
• $\lfloor 2017e \rfloor = 5483$는 소수이다.
• $2017$보다 작거나 같은 모든 홀수 소수들을 더하면 이 수는 소수이다. 즉, \[ 3 + 5 + 7 + 11 + \cdots + 2017 = 283079 \] 은 소수이다.
• $2017$보다 작거나 같은 소수들의 소수간극(prime gap)을 세제곱하여 모두 더하면 이 수는 소수이다. 즉, \[ (3-2)^3 + (5-3)^3 + (7-5)^3 + (11-7)^3 + \cdots + (2017-2011)^3 = 258569 \] 은 소수이다.
• $2017$ 바로 이전 소수는 $2017 + (2-0-1-7)$이다. 따라서 이 소수는 섹시 소수(sexy prime)^[각주:1]가 된다. 또한 $2017$ 바로 다음 소수는 $2017 + (2+0+1+7)$이다. 물론 $2017$ 또한 $2017 + (2\cdot 0\cdot1\cdot7)$과 같이 나타낼 수 있다.
• $2017$의 임의의 두 숫자 사이에 $7$을 삽입해도 이 수는 여전히 소수이다. 즉, $27017$, $20717$, $20177$은 모두 소수이다.
• $2017$의 각 자릿수는 $8$을 넘지 않으므로 이를 $8$진법으로 쓰여진 수라고 생각할 수 있다. 그러면 $2017_{(8)} = 1039$인데, 이 또한 소수이다.
• $2017$은 세 소수의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, $2017 = p^3 + q^3 + r^3$으로 나타낼 수 있다. ($p=q=7$, $r=11$에 대하여 성립.)
• $2017$은 서로 다른 두 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, $2017 = 44^2 + 9^2$으로 나타낼 수 있다.
• $2017$은 서로 다른 다섯 정수의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, \begin{align*} 2017 &= 10^3 + 9^3 + 6^3 + 4^3 + 2^3 \\ &= 12^3 + 6^3 + 4^3 + 2^3 + 1^3 \end{align*} 으로 나타낼 수 있다.
• $2017$은 서로 다른 여덟 정수의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, \[ 2017 = 9^3 + 8^3 + 7^3 + 6^3 + 5^3 + 4^3 + 3^3 + 1^3 \] 으로 나타낼 수 있다.
• $2017$은 적당한 양의 정수 $x$, $y$에 대하여 $x^2+y^2$, $x^2+2y^2$, $x^2+3y^2$, $x^2+4y^2$, $x^2+6y^2$, $x^2+7y^2$, $x^2+8y^2$, $x^2+9y^2$로 표현할 수 있다. \begin{align*} 9^2 + 44^2 &= 2017 \\ 37^2 + 2\cdot18^2 &= 2017 \\ 17^2 + 3\cdot24^2 &= 2017 \\ 9^2 + 4\cdot22^2 &= 2017 \\ 29^2 + 6\cdot14^2 &= 2017 \\ 15^2 + 7\cdot16^2 &= 2017 \\ 37^2 + 8\cdot9^2 &= 2017 \\ 44^2 + 9\cdot3^2 &= 2017 \end{align*}
• $20170123456789$ 또한 소수이다.
• $2017$번째 소수는 $17539$이며, $201717539$ 또한 소수이다.
• $(2017+1)/2 = 1009$와 $(2017+2)/3 = 673$은 모두 소수이다.
• $2017$의 세제곱근은 $12.634807593\ldots$인데 소수점 이하 첫 열번째 자리 안에 $0$부터 $9$까지의 모든수가 한번씩 포함된다. $2017$은 이러한 성질을 가지는 수 중에서 가장 작은 수이다.
• $2017 = 2^{11} - 31$로 나타낼 수 있는데, 이 때 31은 $11$번째 소수이다. 
• $2017$은 적당한 정수 $m$에 대하여 $m$과 $m+1$진법으로 나타냈을 때 회문수(palindrome number)^[각주:2]가 된다. $m=31$인 경우, $2017 = 232_{(31)} = 1v1_{(32)}$와 같이 나타낼 수 있다. $2017$은 이러한 성질을 가지는 수 중에서 가장 작은 수이다.

참고

• http://weijr-note.blogspot.com/2017/01/2017-is-not-just-another-prime-number.html
• https://cloud.sagemath.com/#projects/4a5f0542-5873-4eed-a85c-a18c706e8bcd/files/support/2017.sagews
• https://www.youtube.com/watch?v=z6jMU-AwX34
• http://oeis.org/search?q=seq%3A2017&sort=&language=english&go=Search

1. p와 p+6이 모두 소수가 되는 정수 p를 말한다. [본문으로]
2. 순서대로 읽은 수와 거꾸로 읽은 수가 일치하는 수를 말한다. [본문으로]