등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)

등주부등식(isoperimetric inequality)이란 주어진 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 사이의 관계에 대한 답을 제공한다. 즉, 등주부등식을 이용하여 "둘레의 길이가 일정한 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 최대넓이는 무엇인가?"와 "넓이가 일정한 영역을 둘러싸는 곡선의 최소길이는 무엇인가?"에 대한 (이를 등주문제(isoperimetric problem)라 부른다) 대답을 동시에 할 수 있으며, 이 때의 답은 주어진 영역이 원일 때임을 알려 준다.

등주문제에 대한 답은 고대 그리스 시대부터 알려져 있었다고 알려져 있으나, 최초의 엄밀한 수학적 증명은 19세기에 들어서 가능했다고 한다. 

정리. 등주부등식(isoperimetric inequality)

평면 $\R^2$ 위에 주어진 임의의 폐곡선 $\gamma$에 대하여, $L(\gamma)$을 폐곡선의 길이, $A(\gamma)$를 폐곡선으로 둘러 싸인 영역의 넓이라 하자. 그러면 $L(\gamma)$와 $A(\gamma)$ 사와에 다음의 부등식이 성립한다.

\[ 4\pi A(\gamma) \leq L(\gamma)^2 \]

특히, $\gamma$가 원일 때 유일하게 등호가 성립한다.

증명. 주어진 폐곡선 $\gamma$를 구간 $[0,\, 2\pi]$에서 매개화하여 $\gamma(t) = (x(t),\, y(t))$를 얻는다. 이 때, $\gamma(t)$가 등속력 $\frac{L}{2\pi}$을 갖도록, 즉 임의의 $t \in [0,\, 2\pi]$에 대하여 $\norm{\gamma'(t)} = \frac{L}{2\pi}$를 만족하도록 매개화 할 수 있다여 또한 $\gamma(t)$를 적당히 평행이동하여 

\[ \int_{0}^{2\pi} x(t) \,dt = 0 \]

을 가정할 수 있다. 그러면

\[ \frac{L^2}{2\pi} = \int_{0}^{2\pi} \norm{\gamma'(t)}^2 \,dt = \int_{0}^{2\pi} x'(t)^2 + y'(t)^2 \,dt \tag*{$(\ast)$}\]

임을 알 수 있다. 이제 $F(x,\,y) = (0,\,x)$에 대하여 그린 정리(Green's theorem)에 의해

\[ \begin{align*} A(\gamma) &= \iint \,dxdy = \iint \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy \\[5pt] &= \int F_1 \,dx + F_2 \,dy = \int x \,dy = \int_{0}^{2\pi} x(t) y'(t) \,dt \tag*{$(\ast\ast)$} \end{align*} \]

따라서 $(\ast)$와 $(\ast\ast)$에 의해 다음을 얻는다.

\[ \begin{align*} L(\gamma)^2 - 4\pi A(\gamma) &= 2\pi \int_{0}^{2\pi} (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \,dt - 4\pi \int_{0}^{2\pi} x(t) y'(t) \,dt \\[5pt] &= 2\pi \int_{0}^{2\pi} x'(t)^2 + y'(t)^2 - 2 x(t) y'(t) dt \\[5pt] &= 2\pi \int_{0}^{2\pi} x'(t)^2 - x(t)^2 dt + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \left[ x(t) - y'(t) \right]^2 dt \end{align*} \]

위 등식에서 첫번째 적분의 경우 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)에 의해 $0$보다 크고, 두번째 적분의 경우에도 피적분함수가 항상 $0$보다 크므로 적분값 또한 $0$보다 크다. 따라서

\[ L(\gamma)^2 - 4\pi A(\gamma) \geq 0 \]

을 얻고 이를 정리하면 원하는 부등식 얻는다.

이제 등호 조건을 고려해 보자. 위 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 첫번째 적분이 $0$이 될 조건 $x(t) = a \sin(t) + b \cos(t)$와 두번째 적분이 $0$이 될 조건 $x(t) = y'(t)$를 동시에 만족하는 것이다. 이를 정리하면 적당한 실수 $r,\,k,\,s \in \R$에 대하여

\[ x(t) = r \cos(t-k), \quad y(t) = r \sin(t-k) + s \]

꼴로 나타내 짐을 알 수 있다. 따라서

\[ \begin{align*} \gamma(t) &= (x(t),\, y(t)) \\[5pt] &= (r \cos(t-k),\, r \sin(t-k) + s) \end{align*} \]

즉, $\gamma(t)$가 (반지름이 $r$이고 중심이 $(0,\,s)$인) 원이여야 함을 알 수 있다.

등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)

위 증명 과정을 보면 비르팅거 부등식으로부터 등주부등식을 이끌어 낼 수 있음을 알 수 있다. 더욱 놀라운 사실은 등주부등식으로부터 비르팅거 부등식을 이끌어 낼 수 있다는 점이다. 즉, 비르팅거 부등식과 등주부등식은 서로 동치 명제이다. 

증명. 주기가 $2\pi$이고 구간 $[0,\, 2\pi]$에서의 적분값이 $0$인 $C^1$-함수 $f$를 택하자. 이제 구간 $[0,\, 2\pi]$에서 곡선 $\gamma(t) = (x(t),\, y(t))$를 다음과 같이 정의한다.

\[ x(t) = f(t), \qquad y(t) = \int_{0}^{t} f(s) \,ds \]

한편 $f$의 주기가 $2\pi$이므로, $x(0) = f(0) = f(2\pi) = x(2\pi)$를 만족하고, $f$의 구간 $[0,\, 2\pi]$에서의 적분값이 $0$이므로 $y(0) = 0 = y(2\pi)$를 만족한다. 따라서 $\gamma$는 폐곡선이다. 또한 $\gamma$의 길이는

\[ L(\gamma) = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \,dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{f'(t)^2 + f(t)^2} \,dt \]

와 같고, $\gamma$로 둘러싸인 영역의 넓이 또한 그린 정리를 이용하면 (위의 증명 참고)

\[ A(\gamma) = \int_{0}^{2\pi} x(t) y'(t) \,dt = \int_{0}^{2\pi} f(t)^2 \,dt \]

와 같음을 알 수 있다.

이제 폐곡선 $\gamma$에 대하여 등주부등식과 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)를 연속해서 적용하면

\[ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} f(t)^2 \,dt &\leq \frac{1}{4\pi} \left( \int_{0}^{2\pi} \sqrt{f'(t)^2 + f(t)^2} \,dt \right)^2 \\[5pt] &\leq \frac{1}{4\pi} \left( \int_{0}^{2\pi} f'(t)^2 + f(t)^2 \,dt \right) \left( \int_{0}^{2\pi} 1 \,dt \right) \\[5pt] &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} f'(t)^2 + f(t)^2 \,dt \end{align*} \]

이제 위 부등식을 정리하면 비르팅거 부등식

\[ \int_{0}^{2\pi} f(t)^2 \,dt \leq \int_{0}^{2\pi} f'(t)^2 \,dt \]

를 얻는다. 

이제 비르팅거 부등식의 등호조건은 곡선 $\gamma$가 등주정리의 등호조건을 만족하며, 동시에 코시-슈바르츠 부등식의 등호조건을 만족하는 것이다. 따라서 $\gamma$가 원이여야 하므로

\[ x(t)^2 + y(t)^2 = C_1 \implies f(t)^2 + \left( \int_{0}^{t} f(s) \,ds \right)^2 = C_1. \tag*{$(\star)$} \]

또한 코시-슈바르츠 부등식의 등호조건으로부터

\[ f'(t)^2 + f(t)^2 = C_2 \tag*{$(\star\star)$} \]

를 얻는다. 이제 식 $(\star)$와 $(\star\star)$의 양변을 각각 미분하면

\[ 2f(t) \left[ f(t) + \int_{0}^{t} f(s) \,ds \right] = 0 = 2f'(t) \left[ f''(t) + f(t) \right] \]

를 얻는데 위 등식을 모두 만족시키기 위해서는 $f$가 미분방정식 $f + f'' = 0$를 만족해야 한다. 따라서 $f(t) = a \sin(t) + b \cos (t)$임을 알 수 있다.