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Problems and Solutions #019
Problem #019 평면 위의 집합 $S$에 대하여, $S$의 경계(boundary)가 평행한 두 직선이 될 때, 이 집합 $S$를 띠(strip)라 정의하자. 또한 $\abs{S}$를 이 평행한 두 직선 사이의 거리로 정의하자. 이제 평면 위의 띠들로 이루어진 수열 $(S_n)$에 대하여, 만약 $\sum_{n=1}^{\infty} \abs{S_n}$이 수렴하면 어떠한 $S_n$에도 포함되지 않는 점이 반드시 평면 위에 존재함을 보여라. $\sum_{n=1}^{\infty} \abs{S_n} = M$이라 하자. 이제 원점이 중심이고 반지름이 $R$인 원을 $B_R$이라 하자. 그러면 임의의 $S_n$에 대하여 $B_R \cap S_n$의 넓이는 언제나 $2R\abs{S_n}$보다 작아야 한다. 따라..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 2. 17. 09:47
극값 정리(Extreme Value Theorem)의 한 응용
실해석학에서 긴밀 집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다. 정리 1 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 $E \subseteq \R^n$를 긴밀 집합(compact set)이라 하고 함수 $f : E \to \R$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만..
Analysis/Real Analysis  |  2016. 9. 2. 11:21
주어진 방정식의 해의 위치를 근사하는 방법
아래의 정리는 $n$개의 실근을 가지는 실계수 다항식 $p(x)$의 해의 위치를 근사할 수 있는 정리이다. 예를 들어 다음의 3차 방정식을 생각해 보자.\[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \]위 다항식에 아래의 정리를 적용하면 ($n=3$, $a_{n-1} = -2$, $a_{n-2} = -1$ 이므로) \[ -\frac{-2}{3} \pm \frac{2}{3} \sqrt{(-2)^2 - \frac{6}{2} \, (-1)} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} \pm \frac{2}{3} \sqrt{7} \]을 얻는다. 따라서 주어진 3차 방정식의 세 근은 모두 구간 $[-1,0972,\, 2.4035]$ 안에 존재해야만 함을 알 수 있다. 실제로 세 근을 계산해보..
Analysis/Real Analysis  |  2016. 8. 9. 06:52
매끄럽지만 해석적이지 않은 함수
주어진 실함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대하여, $f$가 $k$번 미분 가능하고 $k$계 도함수(derivative)가 연속(continuous)이면, $f$를 $C^k$ 함수라고 한다. (이때, $C^k$는 앞선 조건을 만족하는 모든 함수들의 집합을 뜻한다.) 예를 들어 $f$가 $C^0$ 함수이면 $f$는 연속함수이고, $f$가 $C^1$ 함수이면, $f$는 연속 미분 가능한(continuously differentiable) 함수, 즉 $f$ 가 한번 미분 가능하고, 그 도함수가 연속인 함수를 말한다. 만약 $f$가 무한번 미분 가능(infinitely differentiable)하면, '$f$가 매끈하다(smooth)'고 하거나 '$f$는 $C^\infty$ 함수..
Analysis/Real Analysis  |  2015. 10. 21. 05:38
여러가지 공간(Space) 사이의 포함관계
이전 포스트에서 여러가지 공간(space)에 대한 정의에 대해 살펴보았다. 이번 포스트에서는 각 공간들 사이에 포함관계에 대해서 알아보도록 한다. 실제로 수학에서 쓰이는 수학적 공간은 아래에 열거된 것 보다 훨씬 범위가 넓다. 예를 들어, 미분기하학에서 쓰이는 다양체(manifold)가 있고, 미분방적식을 다룰 때에 공간은 보통 소볼레프 공간(Sobolev space)을 의미한다. 측도론(measure theory)에서의 측도공간(measure space)도 수학적 공간의 한 예이며, 이의 특수한 경우인 확률공간(probability space)는 보통 통계학에서 다루어진다. 이 외에도 위상수학(general topology) 에서의 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 정칙공간(regula..
Analysis/Real Analysis  |  2014. 7. 20. 04:41
여러가지 공간(Space)에 대한 정의
수학에서의 공간(Space)이란 집합에 어떠한 연산 혹은 구조를 부여한 것을 말한다. 수학의 모든 정의가 어떤 특정한 공간 위에서 이루어지고 어떠한 공간에서 성립하는 정의가 다른 공간에서는 성립하지 않는 경우가 많기 때문에, 지금 내가 다루고 있는 대상이 속해있는 공간을 우선적으로 파악하는 것이 중요하다. 이번 포스트에서는 다양한 공간의 정의에 대해서 다루어 보고자 한다. 1. 위상공간 (Topological Space) 집합 \(X\)가 있다고 하자. 위상공간(Topological Space) \( \left( X, \mathcal{T} \right) \) 란 집합 \(X\)와 다음의 조건을 만족하는 \(X\)의 부분집합들의 모임 \( \mathcal{T} \)를 말한다. (1) 공집합(empty se..
Analysis/Real Analysis  |  2014. 7. 19. 11:49

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