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유클리드 원론 4권 (Euclid Elements IV)
Definitions Definition 1 A rectilinear figure is said to be inscribed in a rectilinear figure when the respective angles of the inscribed figure lie on the respective sides of that in which it is inscribed. Definition 2 Similarly a figure is said to be circumscribed about a figure when the respective sides of the circumscribed figure pass through the respective angles of that about which it is c..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 5. 10. 12:05
유클리드 원론 3권 (Euclid Elements III)
Definitions Definition 1 Equal circles are those whose diameters are equal, or whose radii are equal. Definition 2 A straight line is said to touch a circle which, meeting the circle and being produced, does not cut the circle. Definition 3 Circles are said to touch one another which meet one another but do not cut one another. Definition 4 Straight lines in a circle are said to be equally dista..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 5. 10. 11:57
유클리드 원론 2권 (Euclid Elements II)
Definitions Definition 1Any rectangular parallelogram is said to be contained by the two straight lines containing the right angle.Definition 2And in any parallelogrammic area let any one whatever of the parallelograms about its diameter with the two complements be called a gnomon. Propositions Proposition 1If there are two straight lines, and one of them is cut into any number of segments whate..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 5. 10. 11:45
유클리드 원론 1권 (Euclid Elements I)
Definitions Definition 1. A point is that which has no part. Definition 2. A line is breadthless length. Definition 3. The ends of a line are points. Definition 4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself. Definition 5. A surface is that which has length and breadth only. Definition 6. The edges of a surface are lines. Definition 7. A plane surface is a surface which..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 5. 10. 11:34
위상공간을 정의하는 동치 공리들
이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시 한번 확인해 보자. 우선 직관적으로 주어진 함수가 연속이려면, $x$와 $y$의 거리가 충분히 가까우면, 함수값 $f(x)$와 $f(y)$의 값도 가까워야 한다. 예를 들어 아래와 같이 정의된 함수는 연속이 아니다. $x$와 $y$ 사이의 거리가 아무리 가깝더라도 $y$가 $x$보다 조금이라도 크다면, $f(x)$와 $f(y)$ 사이의 거리가 절대 가까워 질 수 없기 떄문이다. 이러한 사실을 거리공간(metric space)..
Geometry/General Topology  |  2016. 3. 16. 07:03
위상수학이란 무엇일까?
위상수학은 무엇을 공부하는 학문일까? 오늘은 위상수학(topology)에 대한 일반적인 얘기로 시작해 보려고 한다. 우리가 흔히 학부 수준에서 접하는 위상수학은 사실 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)으로 불리는 위상수학의 한 하위 분야로서, 주로 집합의 위상적 성질을 다루는 학문이다. 따라서 누군가가 우리에게 "위상수학은 뭘 공부하는 학문이야?" 라고 물어봤을 때 할수 있는 잘 알려진 대답인, "주어진 대상을 자르거나 붙이지 않고 변화시켜서 다른 대상으로 바꾸어도 변하지 않는 성질들을 연구하는 학문이야." 라고 말하면, 사실 엄밀하게 말하면 반은 맞고 반은 틀린 대답이 된다. 위상수학이 이러한 성질들을 연구하는 학문인건 맞지만, 우리가..
Geometry/General Topology  |  2016. 3. 10. 08:35
수학적 귀납법 (Mathematical Induction) - 3. 위상적 귀납법과 조밀성
조밀성(Compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(Continuity)이나 연결성(Connectedness) 등) 다르게 그 개념이 쉽게 가시적으로 눈에 들어오지 않기 때문일 것이다. 조밀성이란, 어떠한 위상 $X$의 임의의 열린 덮개(open cover)가 항상 유한한 부분 덮개(subcover)를 가짐을 말한다. 이를 수학적인 용어로 다시 표현해 보자. $X$의 열린 집합들의 모임 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$가 다음을 만족한다고 하자. (이때, $A$는 유한, 가산, 비가산 모두 상관 없다)\[..
Geometry/General Topology  |  2015. 9. 26. 04:16

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