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환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism) 이번에는 덧셈과 곱셈 연산을 보존하는 환에서 환으로의 사상(map)에 대해서 알아보도록 하자. 정의 5.1 $R$, $S$를 두 환(ring)이라 하자. 사상(map) $f : R \to S$이 임의의 $x,\, y \in R$에 대하여 \[ f(x + y) = f(x) + f(y), \quad f(xy) = f(x)f(y), \quad f(1_R) = 1_S \] 를 만족하면 이 사상을 환준동형사상(ring homomorphism)이라 한다. 참고. 이때 좌변의 덧셈 곱셈은 $R$에서, 우변의 덧셈 곱셈은 $S$에서 이루어진다. 모든 환준동형사상은 $(R,\, +)$에서 $(S,\, +)$로의 군준동형사상(gro..

부분환(subring)과 아이디얼(ideal) 정의 3.1 주어진 환 $R$의 부분환(subring) $S$란 $R$의 부분집합으로써 $R$에 주어진 연산에 대하여 환이 됨을 의미한다. 다시 말해, 임의의 $a,\, b \in S$에 대하여 $a - b,\, ab \in S$가 성립할 때 $S$를 $R$의 부분환이라 한다. 따라서 $S$는 뺄셈(subtraction)과 곱셈(multiplication)에 대하여 닫혀있음을 알 수 있다. 참고. 부분환에 대한 두번째 정의가 주어진 부분집합 $S$가 부분환이 됨을 보이는데 좀 더 유용하다. 왜냐하면 $S$의 원소들이 결합법칙(associativity)과 분배법칙(distributivity)을 만족해야 함을 보일 필요가 없기 때문이다. 예제 3.2 짝수 정수들..