[문제] 4개의 4 (Four Fours)

문제 설명

4개의 4 문제란, "오직 4개의 4와 일반적으로 통용되는 수학 기호만을 이용하여 (0을 포함한) 모든 자연수를 만들 수 있을까?"를 묻는 문제이다. 예를들어 0 = 4×4-4×4, 1 = (4+4)÷(4+4), 2 = 4÷4+4÷4, 3 = (4+4+4)÷4 등이 답이 될 수 있다. 이때, 문제가 되는것은 '일반적으로 통용되는 수학 기호'의 범위를 정하는 것 이다. 따라서, 아래의 기준을 바탕으로 해답의 '순수성'을 나눠보자. 해답의 순수성은 [n]으로 나타내기로 하자.

[0] : 사칙연산(+, -, ×, ÷)과 사칙연산의 순서를 나타내기 위한 괄호만을 사용한다.

[1] : 숫자를 붙여 쓰는것과 소숫점자리(.x)의 사용이 가능하다. 따라서 '44', '.4 = 0.4', '4.4'등의 숫자등이 사용 가능하다.

[2] : 제곱근(sqrt(x))과 제곱(x^y)을 사용한다. 예를들어 다음과 같은 연산이 가능하다. 'sqrt(4) = √4 = 2', '4^4 = 256' 등...

[3] : 계승(x!)을 사용한다. 예를들면, '4! = 4×3×2×1 = 24'등이 있다.

[4] : 순환소수(.x~)를 사용한다. 예를들어, '.4~ = 0.444... = 4/9'등이 가능하다.

[5] : 퍼센트(x%)를 사용한다. 예를들어, '4% = 0.04'등이 가능하다.

따라서, 이 문제의 목표는 가능한 '순수한' 해답을 찾는 것이다. 예를들어 '6 = 4.4+4×.4'도 가능하지만 (순수성 [2]) '6 = (4+4)÷4+4'가 더 좋은 (순수성 [0])인 것으로 생각한다. 이밖에도 수많은 연산들이 있지만 (예를들어, 바닥함수(floor function)나 감마함수(Gamma function), 준계승(subfactorial) 등) 고등학교 범위에서는 사용하지 않는 특수한 함수들이므로 이 문제에서는 제외하기로 한다. 

해답 - 0부터 20까지

위의 문제를 기준으로 0부터 10까지 가능한 '순수한' 해답을 정리해 보았다. 주어진 답이 여려가지가 있을때에는 그중 몇가지만 골라서 올렸다. (따라서, 주어진 해답 외에도 여러가지 다른 해답이 있을 수 있다!) 여기에 주어진 모든 해답은 아래 참고란에 올린 홈페이지에서 답을 찾아 볼 수 있다. 또한, 0부터 4^4=256까지의 (가능하다면 1000까지) 모든 해답을 정리한 표를 따로 포스트를 만들어서 올릴 계획이다.

	[0]	[1]	[2]	[3]
0	4×4-4×4 = 4÷4×4−4	44−44
1	4÷4+4−4 = (4+4)÷(4+4)	44÷44	(4−√4)÷(4−√4)	(4!-4)÷4-4
2	4÷4+4÷4 = 4−(4+4)÷4		(4−√4)×4÷4	(44+4)÷4!
3	(4+4+4)÷4 = (4×4−4)÷4		√(4×4)-4÷4
4	4+4×(4−4)		(4−√4)+(4−√4)	4!+4!-44
5	(4×4+4)÷4			(44−4!)÷4
6	(4+4)÷4+4	4.4+4×.4		4!/4×4÷4
7	4+4−4÷4	44÷4−4
8	4+4+4-4 = 4×4-(4+4)	4.4−.4+4
9	4÷4+4+4		44÷4−√4
10		(44−4)÷4 = 44/4.4	4+4+4-√4

추가 설명

수학기호를 사용할 때, 로그함수(logarithmic function)의 사용을 제한하는데 그 이유는 로그함수를 이용하면 아래의 두가지 공식에서 볼 수 있듯이 모든 모든 자연수를 4개의 4로 나타낼 수 있기 때문이다. 

\[ \begin{aligned} n & = -\sqrt{4} \frac{\ln\Bigg[\bigg(\ln \overbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}^{\small \mbox{$n$-times}}\bigg) \Big/ \ln4\Bigg]}{\ln{4}} \qquad \text{또는} \\ & = - \log_{4/\sqrt{4}} \bigg( \log_{4} \underbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}}}_{\small\mbox{$n$-times}} \bigg) \end{aligned} \]

또한 삼각함수(trigonometric function)의 사용도 제한한다. 왜냐하면 삼각함수의 항등식

\[ \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \]

에 의하여,

\[ \sec(\tan^{-1}(x)) = \sqrt{x^2+1} \]

이 되는데, 이를 $k$번 반복 적용하면,

\[ (\sec\tan^{-1})^k(x) = \underbrace{\sec(\tan^{-1}(\sec(\tan^{-1}(\cdots (\sec(\tan^{-1}}_{\small\mbox{$k$-times}}(x))))))) = \sqrt{x^2 + k}.  \]

을 얻는다. 따라서 위 식에 $x=4$를 대입하고, $4$ 이상의 모든 수 $n$에 대하여 $k = n^2-4^2$번 만큼 위 식을 반복 적용하면 오직 하나의 $4$만으로 $4$ 이상의 모든 수를 얻을 수 있다! 예를들어, $5$를 얻기 위해 위 식을 $9$번 반복하면,

\[ (\sec\tan^{-1})^9(4) = \sqrt{4^2 + 9} = 5 \]

을 하나의 4로부터 얻을수 있으므로 뒤에 '+4-√4-√4' 등을 붙여주면, 문제의 해답을 얻을 수 있다.

[참고]

The Definite Four Fours Answer Key: http://www.dwheeler.com/fourfours

Four Fours - Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Four_fours

The Four Fours Problem: http://www.wheels.org/math/44s.html

Representation of numbers with four 4's: http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/funny/4_4.shtml