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응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산
주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다. 여기서 찰스 럿위지 도지슨(Charles Lutwidge Dodgson)은 소설 "이상한 나라의 앨리스(Alice's Adventures in Wonderland)"의 저자로 잘 알려진 루이스 캐럴(Lewis Carroll)의 본명이다. 도지슨의 응집 방법(condensation method) 도지슨의 응집 방법(condensation method)은 주어진 행렬쌍 $k \times k$ 정사각행렬 $A$..
Algebra/Matrix Algebra  |  2020. 9. 14. 11:35
두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여
주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$ 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) = \sqrt{ab}$, (단, $a,\, b > 0$) 조화평균(harmonic mean): $H(a,\, b) = \dfrac{2}{a^{-1} + b^{-1}}$, (단, $a,\, b \neq 0$) 이 있다. 앞으로의 논의를 간단히 하기 위해서 (세 평균을 자연스럽게 정의하기 위한 공통 범위인) $a,\, b > 0$인 경우만 고려해 주도록 하자. $ $ 위와 같이 두 양의 실수 $a,\, b >..
Algebra/Matrix Algebra  |  2019. 6. 13. 14:18
정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱
정사각행렬(square matrix) $A$에 대하여 행렬의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 예를 들어 $3 \times 3$ 행렬 $A$가 \[ A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] \] 와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 \[ A^2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} ..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:44
멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계
$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립하면, $A$를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, 이는 다음과 같다. $ $ 정리. $n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다. $A$는 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는다. $A^n = 0$이 성립한다. $A$는 멱영행렬이다. $ $ 증명. $\color{myblue}{\text{(a)} \Rightarrow \text{(b)} \Rightarrow \text{(c)} \Rightarrow \text{(a)}}$를 각..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:41
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, $n \times n$ 실행렬 $A$에 대하여 $A^{\T}= -A$가 성립할 때, $A$를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 $A$에 대하여 $a_{ij}$를 행렬 $A$의 $(i,\,j)$-원소라 하면 다음을 얻는다. \[ a_{ij} = -a_{ji} \quad \forall\; i,\, j \in \{1,\,2,\,\ldots,\, n\} \tag*{$(\ast)$} \] 예를 들어 다음의 행렬들은 모두 반대칭행렬의 예들이다. \[ \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] , \quad \left[..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 5. 7. 23:36
Problems and Solutions #038
Problem #038$3$차 정사각행렬 $A$, $B$가 $A^2 = AB + BA$를 만족할 때, $\det(AB - BA) = 0$임을 보여라. $A^2 = AB + BA$이므로 $AB = A^2 - BA$, $BA = A^2 - AB$가 성립한다. 따라서\[ \begin{align*} \det(AB - BA) &= \det(A^2 - 2BA) = \det((A - 2B)A) \\[5px] &= \det(A - 2B) \det(A) = \det(A) \det(A - 2B) \\[5px] &= \det(A(A - 2B)) = \det(A^2 - 2AB) \\[5px] &= \det(BA - AB) = \det(-(AB - BA)) \\[5px] &= (-1)^3 \det(AB - BA) = -\det..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 10. 13. 01:13
셔먼-모리슨-우드버리 공식(Sherman–Morrison-Woodbury formula)
지난 글에서는 주어진 행렬 $A$의 행렬식과 역행렬을 알고 있을 때, 이 행렬을 계수(rank)가 1인 행렬 $\mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$을 이용하여 갱신한 새로운 행렬 $A + \mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$의 행렬식을 구하는 방법에 대하여 알아보았다. 이번 글에서는 이 새로운 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 제공하는 셔먼-모리슨 공식(Sherman–Morrison formula)에 대해서 알아보도록 하자. 셔먼-모리슨 공식(Sherman–Morrison formula) 1949년 셔먼(Jack Sherman)과 모리슨(Winifred J. Morrison)이 발표한 이 공식은 주어진 행렬 $A$의 역행렬을 알고 있을때, $A + \mathbf{u} \mat..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 6. 20. 04:39
행렬식 보조정리(Matrix Determinant Lemma)
$\newcommand{adj}{\operatorname{adj}}$어떤 행렬에 대한 계산을 필요로 하는 소스코드를 작성중이라 해보자. 이제 코딩을 하던 중에 어떤 반복문을 작성해야 하는데, 일단 행렬 $A_n$이 주어져 있고 이 행렬 $A_n$의 행렬식(determinant)역행렬을 계산했다고 하자. 이제 이 반복문에서 행렬이 계수(rank)가 1인 행렬 $\mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$에 의해 $A_{n+1} = A_n + \mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$로 갱신되었다고 한다면 (즉, 행렬 $A_n$이 rank one update가 되었다면), 이 새로운 행렬 $A_{n+1}$의 행렬식과 역행렬을 어떻게 하면 비교적 빠르게 구할 수 있을까? 물론 $A_{n+1..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 6. 17. 11:49
재미있는 증명 하나
이번에 증명하고자 하는 정리는, 정리의 내용 자체만으로도 흥미로울 뿐만 아니라, 정리를 증명하는 방법 또한 매우 신기해서 이곳에 그 내용을 정리해서 올려보고자 한다. 이 정리는 Quadratic Semidefinite Programming 분야에서 S-lemma라고 불리는 정리를 증명할 때에 보조정리로써 사용되는데, 그 내용은 다음과 같다. Theorem.두 행렬 $P$와 $Q$가 모두 $n \times n$ symmetric matrix라 하자. 만약 $\operatorname{tr}(P) \geq 0$ 이고 $\operatorname{tr}(Q) < 0$이면, $\bar{x}^{\top}P\bar{x} \geq 0$과 $\bar{x}^{\top}Q\bar{x} < 0$을 동시에 만족하는 $\bar{x..
Algebra/Matrix Algebra  |  2015. 11. 20. 06:49

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