주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의
- 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$
- 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) = \sqrt{ab}$, (단, $a,\, b > 0$)
- 조화평균(harmonic mean): $H(a,\, b) = \dfrac{2}{a^{-1} + b^{-1}}$, (단, $a,\, b \neq 0$)
$ $
위와 같이 두 양의 실수 $a,\, b > 0$에 대한 세 가지 평균을 두 $n \times n$ 정사각행렬 $A,\, B$로 확장하기 위해서는 우선 행렬에 대한 부등식 $A,\, B > 0$의 개념부터 정의해야 한다. 주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$에 대하여 $A = A^{\T}$가 성립할 때, $A$를 대칭행렬(symmetric matrix)라 한다. 또한 $A$가 대칭행렬이면서 임의의 벡터 $x \in \R^{n}$에 대하여 $x^{\T}Ax \geq 0$을 만족하면 $A$를 양의 준정부호 행렬(positive semidefinite matrix)라 하고, 임의의 영이 아닌 벡터 $x \neq 0$에 대하여 $x^{\T}Ax > 0$을 만족하면 $A$를 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)이라 한다. 이러한 개념들을 이용하여 뢰브너 순서(Loewner order)로 불리는 반순서(partial order) 관계를 정의할 수 있다.
그럼 다음과 같이 두 행렬에 대한 평균을 정의할 수 있다.
$a,\, b > 0$ | $A,\, B > 0$ | |
---|---|---|
산술평균 $A(x,\, y)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{A+B}{2}$ |
조화평균 $H(x,\, y)$ | $\dfrac{2}{a^{-1} + b^{-1}}$ | $2(A^{-1} + B^{-1})^{-1}$ |
기하평균 $G(x,\, y)$ | $\sqrt{ab}$ | $(AB)^{1/2} \, ??$ |
- 일관성(consistency): $G(1,\, a) = \sqrt{a}$
- 대칭성(summetry): $G(a,\, b) = G(b,\, a)$
- 유계성(boundedness): 만약 $a \geq b$이면, $a \geq G(a,\, b) \geq b$
- 단조성(monotonicity): 만약 $a' \geq a$이고 $b' \geq b$이면, $G(a',\, b') \geq G(a,\, b)$
- 동차성(homogenuity): $G(ta,\, tb) = tG(a,\, b), \; \forall\, t > 0$
- 일관성(consistency): $G(I,\, A) = A^{1/2}$
- 대칭성(summetry): $G(A,\, B) = G(B,\, A)$
- 유계성(boundedness): 만약 $A \geq B$이면, $A \geq G(A,\, B) \geq B$
- 단조성(monotonicity): 만약 $A' \geq A$이고 $B' \geq B$이면, $G(A',\, B') \geq G(A,\, B)$
- 동차성(homogenuity): $G(tA,\, tB) = tG(A,\, B), \; \forall\, t > 0$
- 합동불변성(congruence invariance): $G(X^{\T}AX,\, X^{\T}BX) = X^{\T}G(A,\, B)X, \; \forall\, X \in \operatorname{GL}(n,\, \R)$
두 행렬의 기하평균(geometric mean)
주어진 두 $n \times n$ 양의 정부호 행렬 $A,\, B$에 대하여, $A,\, B$의 기하평균이 조건 (1)과 (6)을 동시에 만족한다면, 이는 다음과 같이 유일하게 존함을 보일 수 있다. 3\[ \begin{align*}
G(A,\, B) &= A^{1/2} G(I,\, A^{-1/2} B A^{-1/2}) A^{1/2} \\[5px]
&= A^{1/2} (A^{-1/2} B A^{-1/2})^{1/2} A^{1/2}
\end{align*} \]
이제 위와 같이 정의된 기하평균이 나머지 조건 (2)~(5) 또한 만족함을 하나씩 확인할 것이다. 그 전에 행렬의 기하평균을 정의하는 동치 명제에 대하여 알아보자. 4\[ A^{-1/2}XA^{-1}XA^{-1/2} = A^{-1/2}YA^{-1}YA^{-1/2} \quad \Rightarrow \quad (A^{-1/2}XA^{-1/2})^2 = (A^{-1/2}YA^{-1/2})^2 \]
여기서 $A^{-1}XA^{-1/2}$와 $A^{-1}YA^{-1/2}$ 모두 양의 정부호 행렬이므로 $A^{-1}XA^{-1/2} = A^{-1}YA^{-1/2}$를 얻는다. 이제 이 식의 양변에 $A^{1/2}$를 좌우로 곱해주면 $X = Y$를 얻는다. 즉, 리카티 방정식의 해는 유일하다.
\[ XB^{-1}X = A \quad \Leftrightarrow \quad X^{-1}BX^{-1} = A^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad XA^{-1}X = B \]
이므로 $G,\, H$는 모두 동일한 리카티 방정식의 해임을 알 수 있다. 한편 리카티 방정식의 (양의 정부호) 해는 유일하므로 $G = H$, 즉, $G(A,\, B) = G(B,\, A)$를 얻는다.
이제 $G$의 단조성을 보이자. 이때 $G$의 대칭성이 성립하므로, $B' \geq B$일 때 $G(A,\, B') \geq G(A,\, B)$임을 보이면 충분하다.
\[ G(I,\, D) = D^{1/2} \leq \frac{I + D}{2} \]
임을 알 수 있다. 이제 $G$의 합동불변성에 의해
\[ \begin{align*}
G = G(A,\, B) &= G(XX^{\T},\, XDX^{\T}) = XG(I,\, D)X^{\T} \\[5px]
&\leq X \left( \frac{I + D}{2} \right)X^{\T} = \frac{XX^{\T} + XDX^{\T}}{2} = \frac{A + B}{2}
\end{align*} \]
즉, $G(A,\, B) \leq A(A,\, B)$가 성립한다. 한편 $H(A,\, B)^{-1} = A(A^{-1},\, B^{-1}) \geq G(A^{-1},\, B^{-1})$이므로 양변에 역행렬을 취하고 성질 (b)를 이용하면, $H(A,\, B) \leq G(A^{-1},\, B^{-1})^{-1} = G(A,\, B)$를 얻는다.- 두 정사각행렬 $A,\,B$가 $AB = BA$를 만족할 때, $A$와 $B$가 교환(commute) 된다고 한다. [본문으로]
- 아래 성질들 중, 일관성과 합동불변성을 이용하면 임의의 $A > 0$에 대하여 $G(A,\, A) = A$임을 보일 수 있다. 또한 이 사실과 단조성을 이용하여, 유계성을 보일 수 있다. 마지막으로 동차성은 합동불변성에서 $X = \sqrt{t}I$인 특수한 경우이다. [본문으로]
- $G(A,\, B)$의 정의는 언뜻 필요 이상으로 복잡해 보이지만, $A,\, B$가 교환되는 경우, 즉, $AB = BA$가 성립하는 경우, $G(A,\, B) = A^{1/2}B^{1/2}$로 간단히 정리되어 기하평균에 대한 우리의 직관과 맞아 떨어짐을 알 수 있다. [본문으로]
- 이 외에도 $G(A,\, B)$를 정의하는 여러가지 동치명제들이 존재한다. 그 중에서 가장 대표적인 것으로는\[ G(A,\, B) = \max \left\{ X \in \operatorname{Sym}(n,\, \R) : \left[ \begin{smallmatrix} A & X \\[5px] X & B \end{smallmatrix} \right] \geq 0 \right\} \]가 있다. (단, $\operatorname{Sym}(n,\, \R)$는 $n \times n$ 대칭행렬들의 집합이다.) [본문으로]
- 일반적으로 행렬 $A,\, B$의 기하평균은 $A \mathbf{\#} B$로 나타내지만, 이 글에서는 두 실수 $a,\,b$의 기하평균 표기법과의 통일성을 위해 $G(A,\, B)$로 나타내기로 한다. [본문으로]
'Algebra > Matrix Algebra' 카테고리의 다른 글
응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산 (2) | 2020.09.14 |
---|---|
정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱 (0) | 2018.10.02 |
멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계 (0) | 2018.10.02 |
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant) (0) | 2018.05.07 |
Problems and Solutions #038 (0) | 2017.10.13 |