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사원수(Quaternion)에 대하여 - 5. 사원수의 곱셈
사원수(Quaternion)의 곱셈 이제까지 사원수의(quaternion)의 곱셈이 아래의 식 \[ \begin{aligned} (a_1,\,b_1,\,c_1,\,d_1) &\times (a_2,\,b_2,\,c_2,\,d_2) \\ &= (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2,\, a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\ & \qquad a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2,\, a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2) \end{aligned} \] 으로 정의된 이유와 그 과정에 대해 살펴 보았다. 하지만 이유와 과정을 알고 이해했다고 하더라도 위의 곱셈을 실제로 외워서 적용하기는 어려운 것이 사실이다. 이번..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 7. 15. 06:27
사원수(Quaternion)에 대하여 - 4. 사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion)
사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion) 삼중쌍(triple)에 대한 실패를 바탕으로 해밀턴은 사중쌍(quadruple)과 사중쌍의 사칙연산에 대한 연구를 시작하였다. 우선 해밀턴은 사중쌍 $(a,\,b,\,c,\,d) = a + bi + cj + dk$에 사칙연산에 대한 법칙 $i^2 = j^2 = -1$, $ij=-ji=k$은 그대로 유지한 채 아직 미지인 관곗값 $ik$, $ki$, $jk$, $kj$, 그리고 $k^2$의 값을 찾고자 하였다. 그리고 마침내 1843년 10월 16일 해밀턴은 사중쌍의 사칙연산에 대한 기본법칙을 발견하고 이를 더블린의 로열 운하 위를 지나는 브로엄 다리(Brougham Bridge) 위에 새겨 놓게 된다.\[ i^2= k^2 = k^2 = ijk = ..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 30. 07:24
사원수(Quaternion)에 대하여 - 3. 삼중쌍(triple)의 실패
3. 삼중쌍(triple)의 실패해밀턴은 우선 삼중쌍(triple)을 아래와 같이 이중쌍(couple)으로써 자연스럽게 정의하였다. \[ (a,\,b,\,c), \quad a,\,b,\,c \in \R. \] 그 다음 삼중쌍들 사이의 사칙연산을 잘 정의하여, 실수의 사칙연산과 이중쌍의 사칙연산이 삼중쌍의 사칙연산으로 자연스럽게 확장되게 하고, 이중쌍이 기하학적으로 이차원의 점을 표현하듯이 삼중쌍 또한 삼차원의 점을 표현 해주길 기대하였다. 먼저 해밀턴은 삼중쌍의 덧셈과 뺄셈, 상수배, 그리고 크기를 이중쌍의 자연스러운 확장으로써 아래와 같이 정의하였다. \[ \begin{aligned} (a_1,\,b_1,\,c_1) \pm (a_2,\,b_2,\,c_2) &= (a_1 \pm a_2,\, b_1 \pm..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 29. 00:10
사원수(Quaternion)에 대하여 - 1. 소개 2. 복소수와 복소수의 성질
1. 소개수학의 모든 위대한 발견들은 당대의 천재들의 번뜩이는 영감에 의해서 어느날 갑자기 이루어지는 것이 아니다. 선대의 수많은 수학자들이 앞서 발견하고 정리해 온 수학적 토대 위에 적게는 수개월에서 많게는 수십년에 이르는 끊임 없는 사색과 연구를 통해야만 비로소 하나의 수학적 사실이 밝혀 지는 것이다. 하지만 이 수학적 발견이 어떠한 노력에 의해서 밝혀 졌는지 그 고된 과정을 후대에 알기란 쉽지 않다. 보통 수학자들이 그들의 발견을 공표할 때에는, 그 발견이 있기까지의 고된 과정을 설명하기 보다는 그 결과만을 가능한 간결하게 서술하고 증명하려는 경향이 있기 때문이다. 이러한 과점에 있어서 해밀턴과 그가 발견한 사원수에 대한 연구는 후대에 사람들에서 굉장히 귀중한 사료가 된다. 해밀턴의 시대에는 수학자..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 28. 23:50
환(ring)에서 체(field)까지 - 1. 환(ring)
환(ring) 먼저 환(ring)의 정의부터 시작해 보도록 하자. 정의 1.1 환(ring)이란 아래의 공리들을 만족하는 이항연산(binary operation)이 정의 된 집합 $R$을 말한다: $R$은 연산 $+$에 대하여 가환군(Abelian group)을 이룬다. 즉, $R$은 연산 $+$에 대해 닫혀있고(closed), 연산 $+$는 결합법칙(associativity law)을 만족하며, $R$에 연산에 대한 항등원(identity)이 존재하고, $R$의 각각의 원소에 대하여 역원(inverse) 또한 존재하며, 마지막으로 $+$가 교환법칙(commutativity law)을 만족한다. ($R$은 연산 $\,\cdot\,$에 대해 닫혀있고,) 연산 $\,\cdot\,$은 결합법칙(associat..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 17. 00:19

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