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라플라스 변환(Laplace Transform) - 6. 합성곱(Convolution)
두 함수 합성곱(convolution)은 하나의 함수 $f$와 또 다른 함수 $g$를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다. [정의 10. (Convolution)] 두 함수 $f$와 $g$에 대하여, $f$와 $g$의 합성곱(convolution)을 다음과 같이 정의한다.$$ (f \ast g)(t) := \int_{0}^{t} f(t) g(t-\tau) \, dt $$ 일반적으로 라플라스 변환은 분배법칙이 성립하지 않는다.$$ \mathcal{L}(fg) \neq \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) $$간단한 예로, 두 함수 $f = e^t$와 $g = 1$를 보면,$$ \mathcal{L}(fg) = \frac{1}{s-1} \n..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 02:32
라플라스 변환(Laplace Transform) - 5. 디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)
디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)는 이론물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)이 고안해낸 함수로, $\delta(t)$로 표기하며, $0$이 아닌 실수에서는 $0$의 값을 가지지만 $0$에서는 무한대의 값을 가지는 함수를 말한다. 크로네커 델타(Kronecker delta)의 연속함수로도 볼 수 있다. 이 함수는 일반적인 의미에서의 함수는 아니지만, 수학의 많은 분야에 다양하게 응용된다. [정의 9] 아래와 같이 함수열(sequence of functions)을 정의하자.$$ f_k(t-a) = \begin{cases} \tfrac{1}{k}, & \quad a \leq t \leq a + k \\ 0, & \quad \text{otherwise} \end{cases} $$디랙 델타..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 01:57
라플라스 변환(Laplace Transform) - 4. 단위 계단 함수(Unit Step Function)
단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 $0$보다 작은 실수에 대해서 $0$, $0$보다 큰 실수에 대해서 $1$, $0$에 대해서 $1/2$의 값을 갖는 함수이다. 일반적으로, 다음과 같이 정의한다. [정의 7 (Unit Step Function)] $a \geq 0$라 하자. 단위 계단 함수(unit step function)을 다음과 같이 정의한다.$$ u(t-a) := \begin{cases} 0, & \qquad t a \\ 1/2, & \qquad t = a \end{cases} $$ 우선 간단히 다음을 확인할 수 있다.$$ \begin{aligned} \mathcal..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 01:15
라플라스 변환(Laplace Transform) - 3. 미분방적식
다음과 같은 미분방정식(ordinary differential equation, ODE)를 생각해 보자.$$ \begin{cases} y'' + ay' + by = r(t) \\ y(0) = k_0, \ y'(0) = k_1 \end{cases} $$이 때, $Y = \mathcal{L}(y)$, $R = \mathcal{L}(r(t))$라 정의하면,$$ \begin{aligned} s^2Y & - sy(0) - s^2y'(0) + a(sY - y(0)) + bY = R \\ & \Rightarrow (s^2 + as + b)Y = (s+a)y(0) + y'(0) + R \\ & \Rightarrow Y = Q((s+a)y(0) + y'(0) + R) \\ & \qquad \qquad \text{wher..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 23. 23:51
라플라스 변환(Laplace Transform) - 2. 기본 성질
라플라스 변환(Laplace transform)의 기본 성질들에 대해서 알아보자. [정리 3]$$ \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) \qquad \text{and} \qquad e^{at}f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s-a)) \qquad \qquad (s-a>t) $$[증명] 라플라스 변환의 정의에 의해 다음을 얻는다.$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(e^{at}f(t)) & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} f(t) \, dt \\ & = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t) \,dt \\ & = F(s-a). \qquad (s-a>t) \end{aligned} $$ [예제 7] 위의..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 23. 14:28
라플라스 변환(Laplace Transform) - 1. 정의와 예제
라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. [정의 1] 주어진 함수 $f(x)$와 시간 $t \geq 0$에 대하여 $f$의 라플라스 변환을 다음과 같이 정의한다. $$ F(s) = \mathcal{L}(f) := \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt $$이 때, $s$는 복소수 값을 갖는다...
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 23. 13:27

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