라플라스 변환(Laplace Transform) - 6. 합성곱(Convolution)

두 함수 합성곱(convolution)은 하나의 함수 $f$와 또 다른 함수 $g$를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다.

[정의 10. (Convolution)] 두 함수 $f$와 $g$에 대하여, $f$와 $g$의 합성곱(convolution)을 다음과 같이 정의한다.

$$(f\ast g)(t):={\int }_0^{t}f(t)g(t-\tau )dt$$

일반적으로 라플라스 변환은 분배법칙이 성립하지 않는다.

$$\mathcal{L}(fg)\ne \mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)$$

간단한 예로, 두 함수 $f=e^t$와 $g=1$를 보면,

$$\mathcal{L}(fg)=\frac{1}{s-1}\ne \frac{1}{s}\frac{1}{s-1}=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)$$

임을 보일 수 있다. 하지만 두 함수 $f$와 $g$의 합성곱 $f\ast g$에 대해서 다음이 성립한다.

[정리 11] 두 함수 $f$와 $g$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\mathcal{L}(f\ast g)=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)\text{or}f\ast g={\mathcal{L}}^{-1}(\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)$$

[증명] 첫째로, 다음을 확인하자.

$$\begin{array}{rl}G(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s\sigma }g(\sigma )d\sigma \\ & ={\int }_{\tau }^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s(t-\tau )}g(t-\tau )d\sigma (\sigma =t-\tau )\\ & =e^{s\tau }{\int }_{\tau }^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}g(t-\tau )d\sigma \end{array}$$

따라서

$$\begin{array}{rl}F(s)G(s)& =({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s\tau }f(\tau )d\tau )G(s)\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\tau }^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-st}g(t-\tau )dtd\tau \\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{t}f(\tau )e^{-st}g(t-\tau )d\tau dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}(f\ast g)(t)dt\\ & =\mathcal{L}(f\ast g)\end{array}$$

[예제 19] 함수 $H(s)=(s^2+w^2{)}^{-2}$가 있다고 하자. ${\mathcal{L}}^{-1}(H)$을 구하기 위하여, $F(s)=(s^2+w^2{)}^{-1}$를 정의하자. 그러면, $H(s)=F(s)F(s)$임을 알수있고, 따라서

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}^{-1}(H)& =f(t)\ast f(t)\\ & =\frac{1}{w}\sin wt\ast \frac{1}{w}\sin wt\\ & =\frac{1}{w^2}{\int }_0^t\sin w\tau \sin w(t-\tau )d\tau \\ & =\frac{1}{2w^2}{\int }_0^t-\cos wt+\cos w(2\tau -t)d\tau \\ & =\frac{1}{2w^2}\left({-\tau \cos wt+\frac{\sin w(2\tau -t)}{2w}|}_0^t\right)\\ & =\frac{1}{2w^2}(-t\cos wt+\frac{\sin wt}{w})\end{array}$$

합성곱의 기본적인 성질들은 다음과 같다.

[정리 12] 두 함수 $f$, $g$에 대하여, 

1. $f\ast g=g\ast f$

2. $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$

3. $f\ast (g+h)=f\ast h+f\ast h$

4. $f\ast 0=0\ast f=0$

5. $f\ast 1\ne f$ 

   예) ${\displaystyle t\ast 1={\int }_0^t\tau 1d\tau =\frac{t^2}{2}\ne t}$.

6. $f\ast f\ge 0$가 성립하지 않는다. 

   예) $t=2\pi$에 대하여 $\sin t\ast \sin t=\frac{1}{2}(-t\cos t+\sin t)<0$ .

이제 합성곱을 이용한 미분방정식(ordinary differential equation)에의 응용에 대해 알아보자. 다음의 미분방정식

$$\{\begin{array}{l}{y}^{″}+a{y}^{\prime }+by=r(t),\\ y(0)=y^{\prime }(0)=0.\end{array}$$

에 라플라스 변환을 적용하면,

$$Y=\frac{1}{s^2+as+b}R=:QR$$

따라서, 합성곱의 성질을 이용하면, 미분방정식의 해 $y$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$y=q\ast r={\int }_0^{t}q(t-\tau )r(t)d\tau$$

다시 말해 위의 미분방정식의 해를 구하는데 있어서 $R$을 구할 필요가 없다는 사실을 알 수 있다.

[예제 20] 다음의 미분방정식

$$y^{″}+3y^{\prime }+2y=r(t)=\{\begin{array}{ll}1,& 1<t<2\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

에 대해 생각해 보자. 이때 초기값(initial condition)은 $0$이라 하자. 그러면,

$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{1}{s^2+3s+2}R\\ & =(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2})R=:QR\end{array}$$

이 때, $q={\mathcal{L}}^{-1}(Q)=e^{-t}-e^{-2t}$ 이므로,

$$\begin{array}{rl}y& =q\ast r\\ & ={\int }_0^{t}q(t-\tau )r(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t{e}^{-(t-\tau )}-e^{-2(t-\tau )}r(\tau )d\tau \end{array}$$

이제, $t$의 범위에 따라 세 가지 경우를 고려해야 한다.

(1) $t<1$인 경우, $y=0$.

(2) $1<t<2$인 경우, 

$$\begin{array}{rl}y& ={\int }_1^t{e}^{-(t-\tau )}-e^{-2(t-\tau )}d\tau \\ & =e^{-(t-\tau )}-\frac{1}{2}{e}^{-2(t-\tau )}{|}_1^t\\ & =\frac{1}{2}+e^{-(t-1)}-\frac{1}{2}{e}^{-2(t-1)}\end{array}$$

(3) $t>2$인 경우,

$$\begin{array}{rl}y& ={\int }_1^2{e}^{-(t-\tau )}-e^{-2(t-\tau )}d\tau \\ & =e^{-(t-2)}-e^{-(t-1)}-\frac{1}{2}{e}^{-2(t-2)}+\frac{1}{2}{e}^{-2(t-1)}\end{array}$$