라플라스 변환(Laplace Transform) - 6. 합성곱(Convolution)

두 함수 합성곱(convolution)은 하나의 함수 $f$와 또 다른 함수 $g$를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다.

[정의 10. (Convolution)] 두 함수 $f$와 $g$에 대하여, $f$와 $g$의 합성곱(convolution)을 다음과 같이 정의한다.

$$ (f \ast g)(t) := \int_{0}^{t} f(t) g(t-\tau) \, dt $$

일반적으로 라플라스 변환은 분배법칙이 성립하지 않는다.

$$ \mathcal{L}(fg) \neq \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) $$

간단한 예로, 두 함수 $f = e^t$와 $g = 1$를 보면,

$$ \mathcal{L}(fg) = \frac{1}{s-1} \neq \frac{1}{s} \frac{1}{s-1} = \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) $$

임을 보일 수 있다. 하지만 두 함수 $f$와 $g$의 합성곱 $f \ast g$에 대해서 다음이 성립한다.

[정리 11] 두 함수 $f$와 $g$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \mathcal{L}(f \ast g) = \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) \quad \text{or} \quad f \ast g = \mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) $$

[증명] 첫째로, 다음을 확인하자.

$$ \begin{aligned} G(s) & = \int_{0}^{\infty} e^{-s\sigma} g(\sigma) \, d\sigma \\ & = \int_{\tau}^{\infty} e^{-s(t-\tau)} g(t-\tau) \, d\sigma \qquad (\sigma = t-\tau) \\ & = e^{s\tau}\int_{\tau}^{\infty} e^{-st} g(t-\tau) \, d\sigma \end{aligned} $$

따라서

$$ \begin{aligned} F(s)G(s) & = \left( \int_{0}^{\infty}  e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \right) G(s) \\ & = \int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} f(\tau) e^{-st} g(t-\tau) \, dt d\tau \\ & = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{t} f(\tau) e^{-st} g(t-\tau) \, d\tau dt \\ & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} (f \ast g)(t) \, dt \\ & = \mathcal{L}(f \ast g) \end{aligned} $$

[예제 19] 함수 $H(s) = (s^2 + w^2)^{-2}$가 있다고 하자. $\mathcal{L}^{-1}(H)$을 구하기 위하여, $F(s) = (s^2 + w^2)^{-1}$를 정의하자. 그러면, $H(s) = F(s)F(s)$임을 알수있고, 따라서

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}(H) & = f(t) \ast f(t) \\ & = \frac{1}{w} \sin wt \ast \frac{1}{w} \sin wt \\ & = \frac{1}{w^2} \int_{0}^{t} \sin w\tau \sin w(t-\tau) \, d\tau \\ & = \frac{1}{2w^2} \int_{0}^{t} -\cos wt + \cos w(2\tau-t) \, d\tau \\ & = \frac{1}{2w^2} \left( \left. -\tau \cos wt + \frac{\sin w(2\tau-t)}{2w} \right|_{0}^{t} \right) \\ & = \frac{1}{2w^2} \left( -t \cos wt + \frac{\sin wt}{w} \right) \end{aligned} $$

합성곱의 기본적인 성질들은 다음과 같다.

[정리 12] 두 함수 $f$, $g$에 대하여, 

1. \( f \ast g = g \ast f \)

2. \( (f \ast g) \ast h = f \ast (g \ast h) \)

3. \( f \ast (g+h) = f \ast h + f \ast h \)

4. \( f \ast 0 = 0 \ast f = 0 \)

5. \( f \ast 1 \neq f \) 

   예) \( \displaystyle t \ast 1 = \int_{0}^{t} \tau 1 \, d\tau = \frac{t^2}{2} \neq t \).

6. \( f \ast f \geq 0 \)가 성립하지 않는다. 

   예) \( t = 2\pi \)에 대하여 \( \sin t \ast \sin t = \frac{1}{2}(-t \cos t + \sin t) < 0 \) .

이제 합성곱을 이용한 미분방정식(ordinary differential equation)에의 응용에 대해 알아보자. 다음의 미분방정식

$$ \begin{cases} y'' + ay' + by = r(t), \\ y(0) = y'(0) = 0. \end{cases} $$

에 라플라스 변환을 적용하면,

$$ Y = \frac{1}{s^2 + as + b} R =: QR $$

따라서, 합성곱의 성질을 이용하면, 미분방정식의 해 $y$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ y = q \ast r = \int_{0}^{t} q(t-\tau) r(t) \, d\tau $$

다시 말해 위의 미분방정식의 해를 구하는데 있어서 $R$을 구할 필요가 없다는 사실을 알 수 있다.

[예제 20] 다음의 미분방정식

$$ y'' + 3y' + 2y = r(t) = \begin{cases} 1, & \qquad 1 < t < 2 \\ 0, & \qquad \text{otherwise} \end{cases} $$

에 대해 생각해 보자. 이때 초기값(initial condition)은 $0$이라 하자. 그러면,

$$ \begin{aligned} Y & = \frac{1}{s^2 + 3s + 2}R \\ & = \left( \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \right) R =: QR \end{aligned} $$

이 때, $q = \mathcal{L}^{-1}(Q) = e^{-t} - e^{-2t}$ 이므로,

$$ \begin{aligned} y & = q \ast r \\ & = \int_{0}^{t} q(t-\tau) r(\tau) \, d\tau \\ & = \int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} r(\tau) \, d\tau \end{aligned} $$

이제, $t$의 범위에 따라 세 가지 경우를 고려해야 한다.

(1) $t<1$인 경우, $y=0$.

(2) $1<t<2$인 경우, 

$$ \begin{aligned} y & = \int_{1}^{t} e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} \, d\tau \\ & = e^{-(t-\tau)} - \frac{1}{2}e^{-2(t-\tau)} \bigg|_{1}^{t} \\ & = \frac{1}{2} + e^{-(t-1)} - \frac{1}{2}e^{-2(t-1)} \end{aligned} $$

(3) $t>2$인 경우,

$$ \begin{aligned} y & = \int_{1}^{2} e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} \, d\tau \\ & = e^{-(t-2)} - e^{-(t-1)} - \frac{1}{2}e^{-2(t-2)} + \frac{1}{2}e^{-2(t-1)} \end{aligned} $$