환(ring)에서 체(field)까지 - 2. 정역(integral domain)과 체(field)

정역(integral domain)과 체(field)

아래는 환의(ring) 두 특수한 형태이다.

정의 2.1

만약 $a,\, b$가 $a,\, b \neq 0$이고 $ab = 0$를 만족하는 환(ring)의 원소이면, $a$와 $b$ 를 영인자(zero-divisor)라 한다.

예제 2.2

환 $\Z_6$에 대하여, $2 \cdot 3 = 0$이 성립한다. 따라서 $2$와 $3$은 영인자이다. 일반적으로, $n$이 소수(prime)가 아니라면 $\Z_n$은 영인자를 갖는다.

정의 2.3

정역(integral domain)이란 영인자를 갖지 않는 단위원 ($1 \neq 0$)이 존재하는 가환환이다. 따라서 만약 $a\cdot b = 0$이면 항상 $a = 0$ 또는 $b = 0$를 얻는다.

예제 2.4

1. 환 $\Z$는 정역이다. (사실 정역이 바로 $\Z$를 일반화한 개념이다.)
2. 다항식환 $\Z[x]$와 $\R[x]$는 정역이다. 이는, 간단히 두 다항식을 곱하고 각각의 계수를 비교함으로써 증명할 수 있다.
3. 환 $\set{a + b\sqrt{2}}{a, b \in \Z}$ 또한 정역의 한 예이다.
4. 만약 $p$가 소수라면, 환 $Z_p$는 정역이다.

정의 2.5

체(field)란 영이 아닌 모든 원소들이 곱셈에 대한 역원을 가지는 단위원 ($1 \neq 0$)이 존재하는 가화환을 말한다.

예제 2.6

환 $\Q$, $\R$, $\C$들은 모두 체이다.

참고.

1. $a,\, b$가 $ab = 0$를 만족하는 체의 원소들이라 하자. 만약에 $a \neq 0$라면, 역원 $a^{-1}$를 가져야 하고, $ab=0$의 양변에 이 역원을 곱해주면 $b = 0$를 얻는다. 따라서 체에는 영인자가 존재할 수 없고, 따라서 모든 체는 정역임을 알 수 있다.
2. $\Z$에서 확인할 수 있듯이, 체가 아닌 정역이 존재한다.
3. $F$가 체가 되기 위한 조건을 아래와 같이 요약할 수 있다:
   (i) $(F,\, +)$는 가환군을 이룬다,
   (ii) $(F \setminus \{0\},\, \cdot\,)$ 또한 가환군을 이룬다,
   (iii) $+$와 $\,\cdot\,$ 사이에 분배법칙이 성립한다.

정리 2.7

모든 유한정역(finite integral domain)은 체(field)이다.

증명. 증명을 위해 임의의 $a \neq 0$이 곱셈에 대한 역원을 가짐을 보여야 한다. 다음의 원소들 $a,\, a^2,\, a^3,\, \ldots$을 생각해 보자. 이 때, '유한'정역에는 오직 유한개의 원소가 존재하므로, 적당한 $m < n$이 존재하여, $a^m = a^n$를 만족해야 한다. 그러면 $0 = a^m - a^n = a^m(1 - a^{n-m})$을 얻는다. 이제 유한'정역'에는 영인자가 존재하지 않으므로, $a^m \neq 0$이고 따라서 $1 - a^{n-m} = 0$여야만 한다. 그러므로 $1 = a^{n-m} = a(a^{n-m-1})$를 얻을 수 있고, 따라서 $a$의 역원이 존재한다. ■

예제 2.8

1. 만약 $p$가 소수라면, $\Z_p$는 $p$개의 원소를 갖는 체이다.
2. 다음과 같은 형태의 집합을 생각하자 $\set{a + bx}{a,\, b \in \Z_2}$. 이 때, $x$는 부정원(indeterminate)이다. 이제 법 $2$에 대하여 덧셈과 곱셈을 정의하고 또한 부정원에 대한 곱셈이 항상 규칙 $x^2 = x + 1$를 따른다고 하자. 그러면 우리는 $4$개의 원소로 이루어진 체를 얻는다: $\{0,\, 1,\, x,\, 1 + x\}$. 예를 들어, 두 원소 $x$와 $1+x$의 곱은 아래와 같이 계산된다.
   
   \[ x(1 + x) = x + x^2 = x + (1 + x) = 1. \]
   따라서 영이 아닌 모든 원소들이 곱셈에 대한 역원을 가짐을 확인할 수 있다.
3. 이제 다음과 같은 형태의 집합에 $\set{a + bx + cx^2}{a,\, b,\, c \in \Z_2}$ 부정원에 대한 연산 규칙 $x^3 = 1 + x$을 정의해 보자. 이 집합은 $8$개의 원소를 가진 체가 된다: $\{0,\, 1,\, x,\, 1 + x,\, x^2,\, 1 + x^2,\, x + x^2,\, 1 + x + x^2\}$.
   법 $2$에 대해 연산이 정의되므로, 예를 들어
   
   \[ (1 + x^2)(x + x^2) = x + x^2 + x^3 + x^4 = x + x^2 + (1 + x) + x(1 + x) = 1 + x. \]
   와 같이 연산이 수행된다. 이와 같이 두 원소들을 곱해보는 시행을 통해 각 원소에 대해 곱셈에 대한 항등원을 찾을 수 있다. (예를 들어 $x^3 + x = 1$이 성립하므로, $x(x^2 + 1) = 1$이고 따라서 $x^{-1} = 1 + x^2$를 얻는다.)
4. 이번에는 다음과 같은 형태의 집합 $\set{a + bx}{a,\, b \in \Z_3}$ 위에 $3$을 법으로 하는 덧셈과 곱셈을 정의하고, 부정원에 대한 연산 규칙 $x^2 = -1$를 정의해 보자. (이는, $\C$에서의 곱셈과 유사하다.) 그러면 우리는 $9$개의 원소를 가진 체가 된다: $\{0,\, 1,\, 2,\, x,\, 1 + x,\, 2 + x,\, 2x,\, 1 + 2x,\, 2 + 2x\}$.

일반적으로, 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여, 집합 $\set{a_0 + a_1x + \cdots + a_{k-1}x^{k-1}}{a_i \in \Z_p}$를 정의하고, 이 위에 부정원에 대한 연산 규칙을 잘 정의하면, $p^k$개의 원소를 갖는 체를 만들 수 있다. 이러한 체를 프랑스의 수학자 갈루아의 이름을 따서 갈루아 체(Galois field)라 부르고 $\mathrm{GF}(p^k)$로 나타낸다.

참고.

만약 $F$가 체이면, $(F,\, +)$와 $(F \setminus \{0\},\, \cdot \,)$ 둘다 가환군(Abelian group)이 됨을 보았다. 이제 위 예제 중, $4$개의 원소를 가진 체 $\{0,\, 1,\, x,\, 1 + x\}$를 생각해 보자. $\{0,\, 1,\, x,\, 1 + x\}$의 모든 원소들은 덧셈에 대하여, 각각의 원소들이 위수(order) $2$를 가지므로, 이 덧셈군(additive group)은 클라인 $4$-그룹과 동형이다. (따라서 $\Z_2 \times \Z_2$와 동형이다). 이제 곱셈군(multiplicative group) $\{1,\, x,\, 1 + x\}$에 대해 생각해 보자. $x^2 = 1 + x$이고 $x^3 = x(1 + x) = x + x^2 = x + 1 + x = 1$이므로 이 곱셈군은 $x$로 생성되는 위수(order)가 $3$인 순환군(cyclic group)임을 알 수 있다.

일반적으로, $p^k$의 원소를 갖는 유한체 $F$에 대하여, 덧셈군 $F$는 $k$개의 $\Z_p$의 곱 $\Z_p \times \Z_p \times \cdots \times \Z_p$와 동형이고, 곱셈군 $F \setminus \{0\}$는 위수가 $p^k - 1$인 순환군을 이룬다.