Problems and Solutions #010

Problem #010

아래와 같이 무한개의 미지수로 이루어진 무한개의 연립방정식을 살펴보자.

\[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} x_1 &+& x_3 &+& x_5 &=& 0 \\ x_2 &+& x_4 &+& x_6 &=& 0 \\ x_3 &+& x_5 &+& x_7 &=& 0 \\ x_4 &+& x_6 &+& x_8 &=& 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \end{array} \]

위 연립방정식의 해를 풀기 위해서는 총 몇 개의 매개변수(parameter)가 필요할까?

우선 위 연립방정식의 첫번째와 세번째 식을 연립하면

\[ x_1 + x_3 + x_5 = 0 = x_3 + x_5 + x_7 \]

즉, $x_1 = x_7$을 얻는다. 마찬가지로 두번째와 네번째 식을 연립함으로써 $x_2 = x_8$을 얻는다. 일반적으로 모든 자연수 $n$에 대하여, $n$-번째와 $(n+2)$-번째 식을 연립함으로써 $x_n = x_{n+6}$을 얻는다. 따라서 매개변수는 최대 $6$개가 필요함을 알 수 있다.

하지만 첫번째와 두번째 식으로부터

\[ x_1 = - x_3 - x_5, \qquad x_2 = - x_4 - x_6 \]

을 얻으므로 매개변수는 총 $4$개만이 필요함을 알 수 있다. 이 $4$개의 매개변수를 이용한 위 연립방정식의 해는 다음과 같다: 임의의 자연수 $n$와 실수인 매개변수 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여

\[ \begin{aligned} x_{6n-5} &= -p-r, \\ x_{6n-4} &= -q-s, \\ x_{6n-3} &= p, \\ x_{6n-2} &= q, \\ x_{6n-1} &= r, \\ x_{6n} &= s. \end{aligned} \]