Problems and Solutions #010

Problem #010

아래와 같이 무한개의 미지수로 이루어진 무한개의 연립방정식을 살펴보자.

$$\begin{array}{ccccccc}{x}_1& +& x_3& +& x_5& =& 0\\ x_2& +& x_4& +& x_6& =& 0\\ x_3& +& x_5& +& x_7& =& 0\\ x_4& +& x_6& +& x_8& =& 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$$

위 연립방정식의 해를 풀기 위해서는 총 몇 개의 매개변수(parameter)가 필요할까?

우선 위 연립방정식의 첫번째와 세번째 식을 연립하면

$$x_1+x_3+x_5=0=x_3+x_5+x_7$$

즉, $x_1=x_7$을 얻는다. 마찬가지로 두번째와 네번째 식을 연립함으로써 $x_2=x_8$을 얻는다. 일반적으로 모든 자연수 $n$에 대하여, $n$-번째와 $(n+2)$-번째 식을 연립함으로써 $x_n=x_{n+6}$을 얻는다. 따라서 매개변수는 최대 $6$개가 필요함을 알 수 있다.

하지만 첫번째와 두번째 식으로부터

$$x_1=-x_3-x_5,x_2=-x_4-x_6$$

을 얻으므로 매개변수는 총 $4$개만이 필요함을 알 수 있다. 이 $4$개의 매개변수를 이용한 위 연립방정식의 해는 다음과 같다: 임의의 자연수 $n$와 실수인 매개변수 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여

$$\begin{array}{rl}{x}_{6n-5}& =-p-r,\\ x_{6n-4}& =-q-s,\\ x_{6n-3}& =p,\\ x_{6n-2}& =q,\\ x_{6n-1}& =r,\\ x_{6n}& =s.\end{array}$$