[퍼온글] 정다면체는 왜 5개 밖에 없을까?

※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/

사실 정다면체가 5개 밖에 존재하지 않는 다는 사실은 오래 전 부터 알려져 있었다. 무려 4천년 전에 스코트랜드에서 정다면체 5개의 모양으로 깍은 돌들이 발견이 되었지만 실제로 정다면체에 관한 연구를 문헌으로 남긴 이들은 바로 그리스 사람들 이였다.

그리스의 철학자 플라톤(Plato)은 Timaeus에서 4 가지의 원소(땅, 공기, 물, 불)와 정십이면체를 제외한 나머지 4개의 정다면체가 서로 연관되어 있다고 하였다. 정다면체에 대해 최초로 수학적으로 분석한 사람은 유클리드(Euclid) 였다. 유클리드의 저서 '원론(Elements)' 의 마지막 책인 13권에 정다면체에 자세한 내용이 나타나 있다. 13권의 명제 13~17번에서 유클리드는 5가지 정다면체인 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 구조에 대해 설명하며 각 정다면체에 외접하는 구의 반지름과 모서리의 길이의 비를 구했다. 또한 명제 18번에서는 정다면체가 5개 밖에 없다는 사실도 증명하였다.

일단 5 개의 정다면체가 어떻게 생겼는지 아래 소개해 보도록 한다.

정사면체 (Tetrahedron)	정육면체 (Cube, Hexahedron)	정팔면체 (Octahedron)
정십이면체 (Dodecahedron)	정이십면체 (Icosahedron)

유클리드(Euclid)의 증명

그렇다면 왜 정다면체는 5가지 밖에 없는 것인가? 일단 두 가지의 증명 중에서 먼저 유클리드 원론에 있는 증명을 알아보자.

1. 각 꼭지점에는 최소 $3$개의 면이 맞닿아야 한다.
2. 이 때, 어떠한 꼭지점에 대해서도 각 꼭지점에 모인 면들의 각을 더하면 $360$도 보다 작아야 한다.
3. 따라서 정다면체의 모든 면의 모든 각들의 크기는 반드시 $360/3 = 120$도 보다 작아야 한다. 즉, 정다면체의 면으로 가능한 다각형으로는 정삼각형, 정사각형, 정오각형이 있을 수 있다.
4. 이제 각각 경우를 나누어 생각해 보자.
   (a) 각 면의 모양이 정삼각형 이라면 한 꼭지점에 3,4,5 개의 면이 모일 수 있다. 각각의 경우 정사면체 ,정팔면체, 정이십면체가 된다.
   (b) 각 면의 모양이 정사각형 이라면 한 꼭지점에 최대 3개의 면이 모일 수 있다. 이 경우 정육면체가 된다.
   (c) 각 면의 모양이 정오각형 이라면, 한 꼭지점에 최대 3 개의 면이 모일 수 있다. 이 경우 정십이면체가 된다.
5. 따라서 모든 경우를 고려했을 때, 정다면체는 다섯가지 밖에 없고 이는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체이다.

오일러(Euler)의 증명

세월이 흘러 오일러(Euler)라는 천재 수학자가 나타났는데 그는 도형에 대해 일반적인 성질을 연구하다 다음과 같은 놀라운 수식을 발견하였다. 임의의 다면체에 대해 꼭지점의 개수를 $v$, 모서리의 개수를 $e$, 면의 개수를 $f$라고 한다면

\[ v-e+f = 2 \]

가 언제나 성립한다. 이 식은 오일러의 다면체 정리라 불린다. 위의 식을 처음 보았을 때 '도대체 이런 것은 어떻게 증명했지?'라는 생각이 들 수 있지만 사실 그 증명은 그리 어렵지 않다. 지금 소개할 증명은 1811년 코시(Cauchy)가 제안한 증명이다.

증명. 우선 임의의 다면체에서 한 면을 제거하자. 즉, 꼭지점이나 모서리는 그대로 놔두고 하나의 면만 제거한 다면체 (이제 더이상 다면체가 아닐 테지만...)를 생각하자. 그러고 나면 이 다면체를 평면위에 펼칠 수 있다. 예를 들어 정육면체의 경우 아래 처럼 평면에 펼칠 수 있다.

이제 우리가 평면위에 펼친 이 도형은 더이상 다면체가 아니라 평면 도형 (이를 평면 그래프(planer graph)라고 부르기로 하자)이 된다. 따라서, 우리가 모든 평면 그래프에 대해 (다면체에서 면의 개수 $f$가 하나 줄었으므로) $v - e + f = 1$을 증명할 수 있다면, 다면체에 대해서 $v - e + f = 2$ 라는 사실이 자동으로 증명 되게 된다.

먼저 각 면들을 모두 삼각형으로 쪼개자. 이는, 각 면의 한 꼭지점에서 이웃한 두 꼭지점을 제외한 나머지 꼭지점들을 모두 선분으로 이어주면 된다. 이 때 선분으로 하나를 이을 때 마다 $e$와 $f$가 동시에 $1$씩 늘어나므로 $v - e + f$의 값은 여전히 보존된다. 위 작업을 완료한 경우 아래와 같이 된다.

이제 다음과 같은 일련의 작업을 통해 $v - e + f$의 값을 보존하면서 평면 그래프를 단순화할 수 있다.

1. 오직 한 변이 외부와 맞닿아 있는 삼각형을 제거한다. 이 때, 꼭지점의 개수는 줄어들지 않지만 변의 개수와 면의 개수는 하나 씩 줄어들어 v - e + f 값이 보존된다. 위 평면 그래프에 대해 실행하였다면 아래 그림의 점선과 같은 부분들이 지워진다.

   
   

   

   
   

2. 두 변이 외부와 맞닿아 있는 삼각형을 제거한다. 이 때 꼭지점의 개수는 한 개가 줄고 변의 개수는 두 개, 면의 개수는 한 개씩 줄어들어서 마찬가지로 v - e + f 의 값이 보존되게 된다. 위 평면 그래프에 대해 실행하였따면 아래 그림의 점선과 같은 부분들이 지워진다.

   
   

   

   
   

위 두 과정을 반복적으로 적용하면 결국 하나의 삼각형만 남게 된다. 이 때 $v - e + f$의 값은 계속 보존되어 왔으므로 이 삼각형의 $v - e + f$의 값과 원래 평면 그래프의 $v - e + f$값이 같을 것이다. 그런데 삼각형의 경우, $v = 3$, $e = 3$, $f = 1$이므로 $v - e + f = 1$이다. 따라서, 원래 평면 그래프의 경우도 $v - e + f = 1$을 만족하게 된다.

결국, 앞서 설명한 것에 따라 $v - e + f = 1$을 보였으므로 다면체에 대해 $v - e + f = 2$인 사실이 증명된다.

이제 오일러의 공식을 이용해 정다면체의 개수가 5개인 사실을 보이자.

증명. 일단 정다면체는 각 꼭지점에 연결된 모서리 수가 동일하다. 이를 수를 $m$이라 하자. 이제 $vm$이라는 값은 각 꼭지점에서 뻗어나가는 모서리들의 수를 모두 합한 것인데, 한 모서리는 두 개의 꼭지점으로 구성되어 있으므로 각 모서리는 두번씩 중복되어 세어진다. 따라서 아래의 식이 성립한다.

\[ \frac{vm}{2} = e \quad \Rightarrow \quad v = \frac{2e}{m} \]

또한 정다면체는 각 면이 모두 동일한 다각형이므로, 이를 $n$각 형이라 하면 비슷한 이유로 아래의 식이 성립한다.

\[ \frac{fn}{2} = e \quad \Rightarrow \quad f = \frac{2e}{n} \]

따라서 위 식에 $v - e + f = 2$라는 사실을 이용하면 아래의 결과를 얻는다.

\[ \frac{2e}{m} - e + \frac{2e}{n} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{m} + \frac{2}{n} - \frac{2}{e} = 1 \]

그런데 다면체를 구성하기 위해서 한 꼭지점에서 뻗어 나가는 모서리의 개수가 최소 $3$개 이상이어야 하고, 각 면을 구성하는 모서리의 개수도 $3$개 이상이어야 한다. 그런데, $m$, $n$ 모두 $4$ 이상이라면

\[ \frac{2}{m} + \frac{2}{n} - \frac{2}{e} = 1 < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

이 되어 모순이다. 따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 $3$이야만 한다. 이제 경우를 나누어 생각해 보자.

1. $m=3$인 경우:
   \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{n} - \frac{2}{e} < \frac{2}{n} \quad \Rightarrow \quad n \leq 5 \]따라서 $n =3,\, 4,\, 5$인 경우를 고려해보면 각각의 경우 $e = 3,\, 12,\, 30$이므로 정사면체, 정팔면체, 정이십면체를 얻는다.
2. $n=3$인 경우:
   위와 마찬가지 이유로 $m \leq 5$가 되어, $m = 3,\, 4,\, 5$ 인데 $m = 3$ 일 때에는 앞서 (a)에서 고려하였기 때문에 $m = 4,\,5$일 때만 살펴보아도 충분하고 이 때, 각각 정육면체, 정십이면체를 얻는다.

따라서 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5개 밖에 없음을 보일 수 있다.