[퍼온글] 삼각치환에서 타원적분으로

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/08/19/1428

$R(x,\, y)$는 $x,\, y$의 유리함수라고 가정하자. 삼각치환을 통한 적분 계산법을 간단히 정리해보자.

1. $R(\cos x,\, \sin x)$의 적분:
   다음과 같은 치환적분을 이용한다.
   
   \[ \begin{aligned} & t = \tan \frac{x}{2}, \quad \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}, \quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ & \quad \implies \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right)\frac{2}{1+t^2}\,dt \end{aligned} \]
2. $R(\cosh x,\, \sinh x)$의 적분:
   다음과 같은 치환적분을 사용한다.
   
   \[ \begin{aligned} & t = \tanh \frac{x}{2}, \quad \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}, \quad \sinh x=\frac{2t}{1-t^2}, \quad \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2} \\ & \quad \implies \int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R \left( \frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2} \right) \frac{2}{1-t^2}\,dt \end{aligned} \]
3. $R(x,\, \sqrt{1-x^2})$의 적분:
   $x=\cos u$ 치환을 사용하면, $R'(\cos x,\, \sin x)$의 적분으로 변화.
4. $R(x,\, \sqrt{x^2-1})$의 적분:
   $x=\cosh u$ 치환을 사용하면, $R'(\cosh x,\, \sinh x)$의 적분으로 변화.
5. $R(x,\, \sqrt{x^2+1})$의 적분:
   $x=\sinh u$ 치환을 사용하면, $R'(\cosh x,\, \sinh x)$의 적분으로 변화.
6. $R(x,\, \sqrt{ax^2+bx+c})$의 적분:
   주어진 이차식을
   
   \[ ax^2+bx+c = \frac{1}{a} \{ (ax+b)^2+{ac-b^2} \} \]
   으로 쓴 다음 $ac-b^2$와 $a$의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 5가지 경우 중 하나로 변환한다.

이렇게 각각의 경우에 주어진 유리함수의 패턴에 따라, 이렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이는 단순한 암기와 다를 것이 없다. 중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 수학에 있어서 바른 학습이라고 할 수 있겠다.

다시 패턴 6에서 교려했던 적분에 대해 생각해 보자.

\[ \int R(x,\, \sqrt{ax^2+bx+c})\,dx \]

위와 형태의 적분이 주어져 있을때, 삼각치환을 이용한 적분이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. 즉, $y^2=ax^2+bx+c$라는 곡선을, 유리함수 $f,\, g$를 사용하여 $x=f(t)$, $y=g(t)$ 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. (매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.) 예를 들어 단위원 $x^2+y^2=1$의 경우, 다음과 같이 유리함수를 통하여 매개화할 수 있다.

\[ x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad y = \frac{2t}{1+t^2}. \]

위의 논의를 요약하면, 다음과 같은 '오일러의 적분정리'를 얻는다.

정리. (오일러의 적분정리)

임의의 2변수 유리함수 $R(x,\, y)$에 대하여, 적분

\[ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx \]

는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.

그러면 제곱근 안에 들어가는 함수의 차수가 3차 이상인 경우, 즉

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \]

와 같은 경우 (lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까? 만약 $y^2 = 1-x^4$를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까? 하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다! 이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.

오일러의 적분정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다. 초등함수로 표현할 수 있는 적분 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다. 다시 말하면, 리만곡면론의 관점에서 복소곡면 $y^2=1−x^2$는 위상적으로 구면과 같고, $y^2=1−x^4$는 위상적으로 토러스가 된다.

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.

\[ \int R(x,\, y)\,dx \]

여기서 $R(x,\, y)$는 $x,\, y$의 유리함수이고, $y^2$는 $x$의 3차식 또는 4차식으로 주어진다. 즉 아래와 같은 형태들의 적분을 말한다.

\[ \int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx \]

\[ \int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx \]

타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다. 타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$의 둘레의 길이가 $4aT(k)$로 주어지기 때문이다. 여기서 $k,\, T(k)$ 는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} k &= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \\ T(k) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx \\ & = \int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx \end{aligned} \]

이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 통해서도 넓고 넓은 타원적분의 세계로 넘어올 수 있는 순간이 존재한다. 나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(hypergeometric series)를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분(elliptic integral)을 말해주는 교육을 꿈꾼다.