Construction of Measure (4) 카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)

저번 글에서는 적당한 조건을 만족하는 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,\infty]$로부터 외측도 $\mu^* : X \to 2^X$를 구성하고, 이 외측도로부터 카라테오도리 구성(Caratheodory construction)을 통하여 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$와 완비측도 $\mu$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 하지만 이렇게 구성한 측도 $\mu$가 함수 $\rho$의 자연스러운 확장일까? 다시 말해 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho(E)$와 $\mu(E)$가 같다고 할 수 있을까? 아래의 예제를 살펴보자.

예제 4.1

집합 $X = \{1,\,2,\,3\}$와 집합족 $\mathcal{E} = \{ \emptyset,\, \{1,\, 2\},\, \{3\},\, \{2,\,3\} \}$를 정의하자. 또한 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,+\infty]$를 아래와 같이 정의하자.

\[ \rho(\emptyset) = 0, \; \rho(\{1,\, 2\}) = \rho(\{3\})=1, \; \rho(\{2,\,3\})=3. \]

그러면 $\mathcal{E}$와 $\rho$로부터 외측도 $\mu^*$를 구성할 수 있다. 또한 카라테오도리 구성을 통하여 $\mu^*$는 $\mu$를 유도한다. 이제 $\mu(\{2,\,3\}) = 2$인 반면, $\rho(\{2,\,3\}) = 3$임을 확인할 수 있다. 따라서 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho{E}$와 $\mu{E}$가 같지 않음을 알 수 있다.

따라서 카라테오도리 구성을 통해 유도한 완비측도공간 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$이 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho$의 자연스러운 확장이 되게 하기 위해서는, 즉, $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}$이고 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho(E) = \mu(E)$가 되게 하기 위해서는, $\mathcal{E}$와 $\rho$에 좀더 조건을 추가해야함을 짐작해 볼 수 있다.

카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)

정리 4.2 [환(ring)]

공집합이 아닌 집합 $X$에 대하여, 그러면 환(ring) $\mathcal{E} \subseteq 2^X$는 아래의 세 조건을 만족하는 집합족이다.

1. $\emptyset \in \mathcal{E}$.
2. 임의의 $A,\,B \in \mathcal{E}$에 대하여, $A \cup B \in \mathcal{E}$.
3. 임의의 $A,\,B \in \mathcal{E}$에 대하여, $A \setminus B \in \mathcal{E}$.

참고.

1. 실제로 $(\mathcal{E},\, \triangle,\, \cap)$는 대수적 관점에서 환이 된다. 이 때, 연산 $\triangle$은 $A \triangle B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$로 정의된 대칭차집합(symmetric difference)를 의미한다.
2. 환 $\mathcal{E}$이 대수일 필요충분조건은 $X$가 $\mathcal{E}$의 원소인 것이다.

이제 아래의 정리를 증명 없이 받아들이기로 하자. 그러면 마침내 아래 정리를 통하여 르벡측도(Lebesgue)를 구성할 준비가 다 되었다.

정리 4.3 [카라테오도리 확장정리 (Caratheodoty Extension Theorem)]

집합 $X$가 공집합이 아니라 하자. 집합족 $\mathcal{E} \subseteq 2^X$가 다음을 만족한다고 하자.

1. $\mathcal{E}$는 $X$의 집합들의 환이다.
2. $X = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n$를 만족하는 집합열 $C_1,\, C_2,\, \ldots \in \mathcal{E}$이 존재한다.

또한 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\, +\infty]$가 다음을 만족한다고 하자.

1. $\rho(\emptyset) = 0$.
2. $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{E}$를 만족하고 서로소인 $\mathcal{E}$의 임의의 집합열 $(E_n)$에 대하여,
   
   \[ \rho\Big( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \Big) = \sum_{n=1}^{\infty} \rho(E_n). \]

3. $\rho$는 $\sigma$-유한($\sigma$-finite)이다. 다시말해, $\mathcal{E}$의 집합족 $(C_n)$이 존재하여 다음을 만족한다.
   

   \[ X = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \quad \text{and} \quad \rho(C_n) < \infty\ \forall\, n \in \N. \]

이제 $\mu^*$가 $\rho$로부터 유도된 외측도라 하고, $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$라 카라테오도리 구성에 의해 $\mu^*$로부터 구성된 완비측도집합이라 하자. 그러면

1. $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}$. 따라서 $m(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}$. (일반적으로 $\mathcal{A}$는 $m(\mathcal{E})$보다 훨씬 큰 집합족이다.)
2. 임의의 $E \subseteq \mathcal{E}$에 대하여, $\mu(E) = \rho(E)$.
3. $\mu$는 $\mathcal{E}$로부터 생성된 $\sigma$-대수 $m(\mathcal{E})$로 확장되는 유일한 측도이다. 다시말해, 만약 $\nu$가 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\nu(E) = \rho(E)$를 만족하는 또다른 $\sigma$-유한측도라 하면, $m(\mathcal{E})$ 위에서 반드시 $\nu = \mu$이다.