[퍼온글] 가비의 리 (加比の理)

※ 출처 - http://goodmath.tumblr.com/page/5

일어 위키에 있는 “加比の理”의 내용을 바탕으로 아래의 정리를 얻을 수 있었다.

정리. 가비의 리

$cd > 0$이고, $\tfrac{1}{c} \leq \tfrac{b}{d}$인 네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \frac{a}{c} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{b}{d} \tag{1} \]

단, 등호는 $\tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}$일 때 성립하는데, 등호가 성립할 때의 식 $(1)$을 ‘가비의 리(加比の理)'라고 한다.

증명. $cd > 0$ 이므로 $\tfrac{a}{c} \leq \tfrac{b}{d} \iff ad \leq bc$이다. 따라서 다음이 성립한다.

\[ \frac{a+b}{c+d} = \frac{ad + bd}{(c+d)d} \leq \frac{bc + bc}{(c+d)d} \leq \frac{b(c + d)}{(c + d)d} = \frac{b}{d} \]

마찬가지 방법으로

\[ \frac{a+b}{c+d} = \frac{ac + bc}{(c+d)c} \leq \frac{ac + ad}{(c+d)c} \leq \frac{a(c + d)}{(c + d)c} = \frac{a}{c} \]

그리고 위의 두 식들은 모두 $\tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}$일 때만 성립한다.

'가비의 리'의 시각화

그런데 ‘가비의 리’가 무엇을 의미할까? ‘가비의 리’를 시각적으로 표현하면 그 의미를 알 수 있다. 특별히 아래의 두 가지 시각화는 네 실수 a, b, c, d가 양의 실수인 경우에 ‘가비의 리’의 증명이다.

‘가비의 리’의 시각화 ①

임의의 삼각형 $\triangle ABC$에서 밑변 $BC$에 평행한 선분으로 삼각형을 자르고, 그 선분에 의해 잘린 네 선분들을 위의 그림처럼 $a$, $b$, $c$, $d$라고 하자. 작은 삼각형과 큰 삼각형은 서로 닮음이므로, $\tfrac{a+b}{a} = \tfrac{c+d}{c}$이다. 특히,

\[ \frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c} \iff \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]

이다. 마찬가지 방법으로 다음을 얻는다.

\[ \frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c} \iff \frac{a+b}{c+d} = \frac{a}{c} \]

그러므로 $\tfrac{a+b}{c+d} = \tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}$이다.

‘가비의 리’의 시각화 ②

임의의 삼각형 $\triangle ABC$의 내부의 한 점 $P$가 있을 때, 점 $A$와 점 $P$를 지나는 직선과 $AP$와 선분 $BC$의 교점을 $Q$라 하자. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자.

• $a$ := $\triangle ABQ$의 넓이
• $b$ := $\triangle PBQ$의 넓이
• $c$ := $\triangle AQC$의 넓이
• $d$ := $\triangle PQC$의 넓이
• $x$ := 선분 $BQ$의 길이
• $y$ := 선분 $QC$의 길이

우선 $\triangle ABQ$와 $\triangle AQC$의 높이가 같으므로, $\tfrac{a}{x} = \tfrac{c}{y}$이다. 마찬가지로 $\triangle PBQ$와 $\triangle PQC$의 높이가 같으므로, $\tfrac{b}{x} = \tfrac{d}{y}$이다. 그러므로 $\tfrac{a}{c} = \tfrac{x}{y} = \tfrac{b}{d}$ 즉, $\tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}$이다. 특히,

\[ \frac{a}{x} - \frac{b}{x} = \frac{c}{y} - \frac{d}{y} \iff \frac{a-b}{x} = \frac{c-d}{y} \]

이다. (물론 위 식의 뺄셈을 모두 덧셈으로 바꾸어도 식이 성립한다.) 즉, 다음이 성립한다.

\[ \frac{a-b}{c-d} = \frac{x}{y} \tag{2} \]

그러므로 $\tfrac{a-b}{c-d} = \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$이다.

참고. 위와 같은 원리 즉, 삼각형의 넓이의 비를 이용하여 체바의 정리(Ceva's theorem)를 증명할 수 있다.

끝으로 흥미로운 식 $(2)$를 관찰하자. 식 $(2)$를 삼각형의 선분과 넓이를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ \frac{\triangle ABP}{\triangle APC} = \frac{BQ}{QC} \tag{3} \]

사실 시각화 ②의 원본 그림이 있는 일어 웹페이지에서는 식 $(3)$을 주제로 이야기한다. 기하적으로 매우 흥미로운 식임은 분명하다.

한편, ‘박부성님의 블로그’와 네이버캐스트 ‘수학 산책’의 “삼각형 선분의 길이의 비”에서는 복잡한 ‘삼각형 선분의 길이의 비’를 구하는 문제를 풀 때, 지레의 원리를 이용하여 쉽게 해결하는 방법을 소개하고 있다. 그런데 지레의 원리 대신에 식 $(3)$을 여러 번 적용하는 것도 역시 좋은 해법이 될 수 있다.