비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality)

비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)이란 푸리에 해석(Fourier analysis) 분야에서 자주 쓰이는 부등식으로, 특정한 형태의 주기함수에 대하여 성립하는 다음의 부등식을 말한다.

정리. 비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality)

주기가 $2\pi$이고 구간 $[0,\, 2\pi]$에서의 적분값이 $0$인 임의의 $C^1$-함수 $f$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

\[ \int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 \,dt \geq \int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 \,dt \]

단, 등호는 $f(t) = a \cos(t) + b \sin(t)$일 때 성립한다.

증명. $f$가 주기함수이므로 $f$의 푸리에 급수(Fourier series)가 존재한다. 즉,

\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)) \tag*{$(\ast)$} \]

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서

\[ a_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) \cos(kt) \,dt, \quad b_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) \sin(kt) \,dt \]

로 주어진다. 또한 $\int_{0}^{2\pi} f(t) \,dt = 0$이므로 $a_0 = 0$임을 알 수 있다. 이제 식 $(\ast)$의 양변을 미분하면

\[ f'(t) = \sum_{k=1}^{\infty} (-k a_k \sin(kt) + k b_k \cos(kt)) \tag*{$(\ast\ast)$} \]

를 얻는다. 따라서 $\{ \cos(kt),\, \sin(kt) : k \geq 1 \}$의 직교성(orthogonality)에 의해, 식 $(\ast)$로부터

\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 \,dt &= \int_{0}^{2\pi} \left[ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)) \right]^2 dt \\[5pt] &= \int_{0}^{2\pi} \left[ \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k^2 \cos^2(kt) + b_k^2 \sin^2(kt) \right) \right] dt \\[5pt] &= \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k^2 \int_{0}^{2\pi} \cos^2(kt) \,dt + b_k^2 \int_{0}^{2\pi} \sin^2(kt) \,dt \right] \\[5pt] &= \sum_{k=1}^{\infty} \pi (a_k^2 + b_k^2) \end{align*}

를 얻는다. (이 등식을 파세발 항등식(Parseval's identity)이라 부른다.) 마찬가지 방법으로 식 $(\ast\ast)$로부터

\[ \int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 \,dt = \sum_{k=1}^{\infty} \pi k^2 (a_k^2 + b_k^2) \]

를 얻을 수 있다. 그러므로 부등식

\[ \int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 \,dt - \int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 \,dt = \sum_{k=1}^{\infty} \pi (k^2 -1) (a_k^2 + b_k^2) \geq 0 \]

이 성립함을 알 수 있다. 위 부등식에서 등식이 성립할 조건은 모든 $k \geq 2$에 대하여 $a_k = b_k = 0$인 것이므로 주어진 함수가

\[ f(t) = a_1 \cos(t) + b_1 \sin(t) \]

의 형태일 때 등식이 성립한다.