Problems and Solutions #042

Problem #042

다음 부정적분을 계산하여라.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}dx$$

풀이 1. $t=\sqrt{1+\sqrt{x}}$로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 $x=(t^2-1{)}^2$를 얻고, 이로부터 $dx=4t(t^2-1)dt$를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 $t$에 대한 적분으로 바꾸어 주면,

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}& =\int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2-1)\cdot t\cdot \sqrt{1+t}}\\ & =4\int \frac{dt}{\sqrt{1+t}}\\ & =8\sqrt{1+t}+C\\ & =8\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}+C\end{array}$$

따라서 원하는 부정적분을 얻는다.

풀이 2. 분모가 $1+\sqrt{x}$의 형태를 반복적으로 가지고 있으므로, 이를 이용하여 풀이를 해보자. 먼저 함수 $f(x)=1+\sqrt{x}$를 정의하면, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$임을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\frac{d}{dx}(f(f(f(x)))=f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(f(f(x)))=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(f(x))}}$$

그러므로,

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{f(x)}\sqrt{f(f(x))}}dx=8f(f(f(x)))+C=8\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}+C.$$임을 알 수 있다.

위 풀이에서 반복되는 식을 이용했다는 점 때문에, 다음과 같은 확장된 형태의 식 역시 성립함을 증명할 수 있다.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{f(x)}\sqrt{f(f(x)}\sqrt{f(f(f(x)))}}dx=16\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}+C.$$