풀이 1. $t = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 $x = (t^2 -1)^2$를 얻고, 이로부터 $dx = 4t(t^2-1)dt$를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 $t$에 대한 적분으로 바꾸어 주면,
\[ \begin{align*} \int \frac{dx}{ \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} &= \int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2 -1) \cdot t \cdot \sqrt{1+t} } \\[5px] &= 4\int\frac{dt}{\sqrt{1+t}} \\[5px] &= 8\sqrt{1 + t} +C \\[5px] &= 8\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}}}+C \end{align*} \]
따라서 원하는 부정적분을 얻는다.
풀이 2. 분모가 $1 + \sqrt{x}$의 형태를 반복적으로 가지고 있으므로, 이를 이용하여 풀이를 해보자. 먼저 함수 $f(x) = 1+\sqrt{x}$를 정의하면, $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$임을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.
\[ \frac{d}{dx}\left( f(f(f(x)) \right) = f'(x) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(f(f(x))) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(f(x))}} \]
그러므로,
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{f(x)} \sqrt{f(f(x))}} dx = 8 f(f(f(x))) + C = 8 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}} + C. \]임을 알 수 있다.
위 풀이에서 반복되는 식을 이용했다는 점 때문에, 다음과 같은 확장된 형태의 식 역시 성립함을 증명할 수 있다.
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{f(x)} \sqrt{f(f(x)} \sqrt{f(f(f(x)))}} dx = 16 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} + C. \]
