Problems and Solutions #043

Problem #043

다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}$$

증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은

$$\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$와 같이 나타낸다. 

이제 포아송 분포 $X_n\sim \mathrm{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠한 사건이 $n$번 이하 일어날 확률은

$$\mathbb{P}(X_n\le n)=\sum _{k=0}^n\frac{n^k{e}^{-n}}{k!}=e^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}$$

임을 알 수 있다. 또한 $i=1,\dots ,n$에 대하여, $Y_i$가 독립(independent)이고 포아송 분포 $Y_i\sim \mathrm{Poission}(1)$을 따른다고 하자. 그러면 포아송 분포의 성질에 의해

$$Y_1+\cdots +Y_n\sim \mathrm{Poisson}(n)\sim X_n$$

이고 또한

$$\begin{array}{}(\ast )& \mathbb{P}(\sqrt{n}(\frac{Y_1+\cdots +Y_n}{n}-1)\le 0)=\mathbb{P}(Y_1+\cdots +Y_n\le n)=\mathbb{P}(X_n\le n)\end{array}$$

임을 알 수 있다. 이제 중심극한정리(central limit theorem)에 의하면 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 독립동일분포 $Y_1,\dots ,Y_n,\dots$에 대하여

$$\frac{\sqrt{n}}{\sigma }(\frac{Y_1+\cdots +Y_n}{n}-\mu )\stackrel{d}{\to }N(0,1)$$

이 성립한다. 따라서 식 $(\ast )$의 좌변의 분포는 $\mu =\sigma =1$인 경우이므로, 역시 $\mathrm{N}(0,1)$로 분포수렴함을 알 수 있다. 그러므로

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{P}(X_n\le n)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{P}(\sqrt{n}(\frac{Y_1+\cdots +Y_n}{n}-1)\le 0)\\ & =\mathbb{P}(\mathrm{N}(0,1)\le 0)\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

임을 알 수 있다. 따라서 주어진 극한의 극한값은 $\frac{1}{2}$이다.