조립제법(synthetic division)의 원리와 응용

조립제법의 원리

정리. 루피니-호너 방법(Ruffini-Horner method)

다항식 $p(x)$가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

\[ p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n} \]

이제 주어진 실수 $x_{0} \in \R$에 대하여 다음과 같이 수열 $\langle b_i \rangle$를 정의한다.

\[ \begin{align*} b_{n} &:= a_{n} \\[5px] b_{n-1} &:= a_{n-1}+b_{n}x_{0} \\[5px] &{} \quad \vdots \\[5px] b_{0} &:= a_{0}+b_{1}x_{0} \end{align*} \]

그러면 $b_0 = p(x_{0})$가 성립한다.

증명. 먼저 주어진 다항식 $p(x)$를 다음과 같이 정리한다.

\[ p(x) = a_{0} + x(a_{1} + x(a_{2} + \cdots + x(a_{n-2} + x(a_{n-1} + a_{n}x)))) \]

이제 위에서 정의한 $\langle b_i \rangle$를 차례로 대입하면,

\[ \begin{align*} p(x_{0}) &= a_{0} + x_{0}(a_{1} + x_{0}(a_{2} + \cdots + x_{0}(a_{n-2} + x_{0}(a_{n-1} + b_{n}x_{0})))) \\[5px] &= a_{0} + x_{0}(a_{1} + x_{0}(a_{2} + \cdots + x_{0}(a_{n-2} + x_{0}b_{n-1}))) \\[5px] &= a_{0} + x_{0}(a_{1} + x_{0}(a_{2} + \cdots + x_{0}b_{n-2})) \\[5px] &{} \;\; \vdots \\[5px] &= a_{0} + x_{0}b_{1} \\[5px] &= b_{0} \end{align*} \]

따라서 $b_0 = p(x_{0})$가 성립한다..

따름정리.

주어진 다항식 $p(x)$와 실수 $x_{0} \in \R$에 대하여, 수열 $\langle b_i \rangle$를 위와 같이 정의하자. 이제 다항식 $q(x)$를 다음과 같이 정의한다.

\[ q(x) = b_{1} + b_{2}x + b_{3}x^{2} + b_{4}x^{3} + \cdots + b_{n}x^{n-1} \]

그러면 $p(x) = (x-x_{0})q(x) + b_0$가 성립한다. 즉, 다항식 $p(x)$를 일차식 $x-x_{0}$로 나누면, 몫은 $q(x)$와 같고 나머지는 $b_{0}$와 같다.

증명. 직접 $(x-x_{0})q(x) + b_0$를 전개한 뒤에 동류항끼리 묶어서 정리하면 $p(x)$와 같아짐을 간단히 확인할 수 있다. 자세한 계산 과정은 생략하도록 하자..

위 정리를 이용하여 $p(x_0)$의 값을 구하는 방법을 조립제법(synthetic division)이라 한다. 조립제법을 이용하면 주어진 다항식의 계수들의 곱셈과 덧셈을 통해서 다항식의 나눗셈을 보다 효율적이고 간단하게 수행할 수 있게 해준다.

1. 먼저 다항식 $p(x_0)$의 계수들과 $x_0$를 이용하여 아래 그림과 같은 표를 만든다.\[ \begin{array}{c|c c c c c} & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{0} \\[5px] x_{0} & & & & & \\[10px] \hline & & & & & \end{array} \]
2. $a_{n}$을 위 표의 가로줄 아래에 내려 적는다.\[ \begin{array}{c|c c c c c} & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{0} \\[5px] x_{0} & & & & & \\[10px] \hline & a_{n} & & & & \\ & = b_{n} & & & & \end{array} \]여기서 $b_{n} = a_{n}$으로 정의했던 것을 기억하자.
3. $x_{0}$와 가로줄 아래에 적힌 $b_{n}$을 곱해서 $a_{n-1}$바로 아래에 적는다. 그 다음에 이 두 값을 더하여 가로줄 아래에 내려 적는다.\[ \begin{array}{c|c c c c c} & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{0} \\[5px] x_{0} & & b_{n}x_{0} & & & \\[10px] \hline & a_{n} & a_{n-1} + b_{n}x_{0} & & & \\ & = b_{n} & = b_{n-1} & & & \end{array} \]여기서 계산한 값이 $b_{n-1} = a_{n-1} + b_{n}x_{0}$이 된다.
4. 단계 (3)을 $b_{0}$를 구할 때까지 반복한다.\[ \begin{array}{c|c c c c c} & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{0} \\[5px] x_{0} & & b_{n}x_{0} & b_{n-1}x_{0} & \cdots & b_{1}x_{0} \\[10px] \hline & a_{n} & a_{n-1} + b_{n}x_{0} & a_{n-2} + b_{n-1}x_{0} & \cdots & a_{0} + b_{1}x_{0} \\ & = b_{n} & = b_{n-1} & = b_{n-2} & \cdots & = b_{0} \end{array} \]
5. 마지막에 구한 $b_{0}$의 값이 우리가 원하는 $p(x_{0})$의 값이 된다.

조립제법의 응용

다항식 $p(x) = 2x^{4} - 5x^{3} - 2x^{2} + 10x - 4$가 주어졌다고 하자.

예제 1. 먼저 $p(x)$를 $x-3$으로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구해보자. 위 따름정리에 의하면 $p(3)$의 값을 조립제법을 통해서 구하는 과정에서 몫과 나머지를 구할 수 있다.
\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] 3 & & 6 & 3 & 3 & 39 \\[10px] \hline & 2 & 1 & 1 & 13 & 35 \end{array} \] 따라서 $p(3) = 35$이고
\[ p(x) = (x-3)(2x^3 + x^2 + x + 13) + 35 \] 와 같이 나타낼 수 있다..

예제 2. 만약 방정식 $p(x)=0$에 유리근이 존재한다면, 유리근 정리(rational root theorem)에 의해서 $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm \frac{1}{2}$ 중 하나여야 한다. 이제 각각의 유리근 후보들이 실제로 방정식 $p(x)=0$의 근인지 아닌지를 조립제법을 이용하여 확인할 수 있다. 실제로 $x=2$인 경우와 $x=\frac{1}{2}$인 경우,
\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] 2 & & 4 & -2 & -8 & 4 \\[10px] \hline & 2 & -1 & -4 & 2 & 0 \end{array}, \qquad \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] \frac{1}{2} & & 1 & -2 & -2 & 4 \\[10px] \hline & 2 & -4 & -4 & 8 & 0 \end{array} \] 이 되어 $p(2)=p(\frac{1}{2})=0$이므로 $x=2$와 $x=\frac{1}{2}$이 다항식 $p(x)=0$의 근이 됨을 알 수 있다.

예제 3. 일반적으로 조립제법은 다항식 $p(x)$를 일차항의 계수가 $1$인 일자식 $x-x_{0}$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 간단히 구할 수 있게 도와준다. 하지만 조립제법을 응용하면 $p(x)$를 일반적인 일차식 $ax+b$로 나눈 나머지와 몫 또한 구할 수 있다. 예를 들어, $p(x)$를 $2x+3$으로 나눈 몫과 나머지를 구해보자. 이 경우 $2x+3$의 일차항의 계수는 역수를 취하고, 나머지 계수에는 $-1$을 곱해주어 차례로 $\frac{1}{2}$와 $-3$을 얻는다. 이제 이 두 수와 $p(x)$의 계수들을 이용하여 아래 그림과 같은 표를 만든다.
\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] -3 & & & & & \\[10px] \hline & & & & & \\[5px] /2 & & & & & \end{array} \] 그 다음 과정은 조립제법의 계산 과정과 동일하지만, 중간 곱셈의 계산 결과에 $\frac{1}{2}$를 곱해 주는 것만 추가해 주면 된다. 다음은 조립제법의 첫 계산 과정과 나머지 계산 과정을 각각 나타낸다.
\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] -3 & & -3 & & & \\[10px] \hline & 2 & & & & \\[5px] /2 & 1 & & & & \end{array} \quad \longrightarrow \quad \begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] -3 & & -3 & 12 & -15 & \frac{15}{2} \\[10px] \hline & 2 & -8 & 10 & -5 & \frac{7}{2} \\[5px] /2 & 1 & -4 & 5 & -\frac{5}{2} & \end{array} \] 따라서 $p(x)$를 $2x+3$으로 나눈 몫과 나머지는 다음과 같다.
\[ p(x) = (2x+3)(x^{3} - 4x^{2} + 5x - \tfrac{5}{2}) + \tfrac{7}{2} \]

예제 4. 조립제법은 다항식 $p(x)$를 일차 이상의 다항식으로 나누는 경우에도 사용될 수 있다. 예를 들어 $p(x)$를 이차식 $x^{2} - 2x - 3$으로 (여기서 최소차항의 계수가 $1$임을 확인하자.) 나누었을 때의 몫과 나머지를 구해보자. 이 경우 $x^{2} - 2x - 3$의 이차항의 계수를 제외한 나머지 계수에 $-1$을 곱해주어 차례로 $2$과 $3$을 얻는다. 이제 이 수들과 $p(x)$의 계수들을 이용하여 아래 그림과 같은 표를 만든다.
\[ \begin{array}{rr|rrrrr} & & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] & 3 & & & & & \\[5px] 2 & & & & & & \\[10px] \hline & & & & & & \end{array} \] 그 다음...
위에 설명에 따라 계산한 첫 계산 과정과 나머지 계산 과정은 각각 다음과 같다.
\[ \begin{array}{rr|rrrrr} & & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] & 3 & & & 6 & & \\[5px] 2 & & & 4 & & & \\[10px] \hline & & 2 & & & & \end{array} \quad \longrightarrow \quad \begin{array}{rr|rrrrr} & & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] & 3 & & & 6 & -3 & 6 \\[5px] 2 & & & 4 & -2 & 4 & \\[10px] \hline & & 2 & -1 & 2 & 11 & 2 \end{array} \] $p(x)$를 이차식으로 나누었으므로, 가로줄 우측의 두 수가 나머지의 계수가 되고, 우측의 두 수를 제외한 나머지 수들이 몫의 계수가 된다. 따라서
\[ p(x) = (x^{2} - 2x - 3)(2x^{2} - x + 2) + (11x + 2) \]

예제 5. 마지막으로 $p(x)$를 이차식 $2x^{2} - x + 2$으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구해보자. 이 때, 나누는 식의 최고차항의 계수가 $1$이 아니므로...

\[ \begin{array}{rr|rrrrr} & & 2 & -5 & -2 & 10 & -4 \\[5px] & -2 & & & -2 & 4 & 6 \\[5px] 1 & & & 1 & -2 & -3 & \\[10px] \hline & & 2 & -4 & -6 & 11 & 2 \\[5px] & /2 & 1 & -2 & -3 & & \end{array} \] 위의 예제와 마찬가지로 가로줄 우측의 두 수가 나머지의 계수가 되고, 우측의 두 수를 제외한 나머지 수들이 몫의 계수가 된다. 따라서
\[ p(x) = (2x^{2} - x + 2)(x^{2} - 2x - 3) + (11x + 2) \] 가 되어 예제 4와 같은 결과를 얻음을 확인할 수 있다.