편도함수가 모두 같은 함수

$U \subset \R^n$이 열린 볼록집합_{(open convex set)}이라 하자. 이제 $U$ 위에서 주어진 벡터 함수 $F : U \to \R$의 편도함수가 모두 연속이고

\[ \partial_1 F(\vec{x}) = \partial_1 F(\vec{x}) = \cdots = \partial_1 F(\vec{x}), \quad \forall \; \vec{x} \in U \tag*{$(\ast)$} \]

가 성립한다고 하자. 이 때, $F$에 관해서 어떤 이야기를 할 수 있을까?

정리.

열린 볼록집합 $U \subset \R^n$위에서 정의된 함수 $F : U \to \R$의 편도함수가 모두 연속이고 $(\ast)$를 만족한다고 하자. 그러면 함수 $G : V \subset \R \to \R$가 존재하여 임의의 $x \in U$에 대하여 $F(\vec{x}) = G(\tr(\vec{x}))$이 성립한다. (단, $\vec{x} = (x_1,\, \cdots,\, x_n)$에 대하여 $\tr(\vec{x}) = x_1 + \cdots + x_n$으로 정의한다.)

우선 열린 집합 $U$에서 $F$의 편도함수가 모두 존재하고 연속이므로, $F$는 $U$에서 미분 가능하다. 이제 $\vec{e} = (1,\, 1,\, \ldots,\, 1) \in \R^n$이라 하면, $F$의 편도함수가 모두 같으므로 적당한 함수 $\phi : U \to \R$가 존재하여, $\nabla F(\vec{x}) = \phi(\vec{x})e$와 같이 나타낼 수 있다.

이제 $\tr(\vec{x}) = \tr(\vec{y})$를 만족하는 두 벡터 $\vec{x},\, \vec{y} \in U$에 대하여, 함수 $v(t) = (1-t)\vec{x} + t\vec{y}$, $t \in [0,\,1]$을 정의하자. 그러면 $v(0) = \vec{x}$, $v(1) = \vec{y}$이고, $U$가 볼록집합이므로 모든 $t \in [0,\,1]$에 대하여 $v(t) \in U$가 성립한다. 이제 함수 $f : [0,\,1] \to \R$를 $f(t) = F(v(t))$로 정의하자. 그러면

\[ f'(t) = \ip{\nabla F(v(t))}{v'(t)} = \ip{\phi(v(t))e}{\vec{y} - \vec{x}} = 0 \]

따라서 $f$는 상수함수임을 알 수 있다. 즉, $f(0) = f(1)$이 성립하고 이는 $F(\vec{x}) = F(\vec{y})$를 의미한다. 이제 임의의 $\vec{x} \in U$에 대하여 $\vec{y} = (\tr(\vec{x}),\, 0,\, \ldots,\, 0)$으로 정의하면 $\tr(\vec{x}) = \tr(\vec{y})$가 성립하므로 위 논의에 의해서 $F(\vec{x}) = F(\vec{y})$를 얻는다. 따라서

\[ V = \set{\tr(\vec{x})}{x \in U} \subset \R, \quad G : V \to \R, \quad G(\tr(\vec{x})) = F(\tr(\vec{x}),\, 0,\, \ldots,\, 0) \]

으로 정의하면 임의의 $x \in U$에 대하여 $F(\vec{x}) = G(\tr(\vec{x}))$가 성립한다.