오름차순 수(ascending number)와 내림차순 수(descending number) 사이의 관계

$1$부터 $9$까지의 모든 수를 내림차순(descending order)으로 적은 수 $987654321$과 오름차순(ascending order)으로 적은 수 $123456789$를 비교해 보면, 처음 수가 나중 수의 대략 $8$배 가량 된다는 사실을 확인할 수 있다. 이 관계를 좀 더 자세히 계산해 보면 다음과 같은 관계를 갖는다.^[각주:1]

\[ \frac{987654321 - 1}{123456789 + 1} = 8 \]

즉, $1$부터 $9$까지의 모든 수를 내림차순으로 적은 수 $987654321$에서 $1$을 뺀 수를, 오름차순으로 적은 수 $123456789$에 $1$을 더한 수로 나누면, 이 결과는 정수가 된다. 재미있는 것은 십진법에서 뿐만 아니라, 임의의 정수 $b \geq 2$에 대하여 $b$-진법에서 계산을 해 보아도 비슷한 계산이 성립한다는 사실이다. 몇 가지 예를 들어보면 다음과 같다.

\[ \begin{align*} \frac{21_{(3)} - 1}{12_{(3)} + 1} &= \frac{7 - 1}{5 + 1} = 1 \\[5px] \frac{321_{(4)} - 1}{123_{(4)} + 1} &= \frac{57 - 1}{27 + 1} = 2 \\[5px] \frac{4321_{(5)} - 1}{1234_{(5)} + 1} &= \frac{586 - 1}{194 + 1} = 3 \\[5px] \frac{54321_{(6)} - 1}{12345_{(6)} + 1} &= \frac{7465 - 1}{1865 + 1} = 4 \\[5px] \frac{654321_{(7)} - 1}{123456_{(7)} + 1} &= \frac{114381 - 1}{22875 + 1} = 5 \\[5px] \frac{7654321_{(8)} - 1}{1234567_{(8)} + 1} &= \frac{2054353 - 1}{342391 + 1} = 6 \\[5px] \vdots \qquad &= \qquad \vdots \\[10px] \frac{\text{FEDCBA}987654321_{(16)} - 1}{123456789\text{ABCDEF}_{(16)} + 1} &= \frac{1147797409030816545 - 1}{81985529216486895 + 1} = 14 \\[5px] \vdots \qquad &= \qquad \vdots \end{align*} \]

위 관찰을 일반화 하면 다음과 같은 사실이 성립함을 확인할 수 있다.

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임의의 정수 $b \geq 2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \frac{\displaystyle \left( \sum_{n=1}^{b-1} n b^{n-1} \right) - 1}{\displaystyle \left( \sum_{n=1}^{b-1} (b-n) b^{n-1} \right) + 1} = b-2 \tag*{$(\ast)$}\]

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증명. 먼저 기하급수(geometric series)의 유한합 공식을 이용하면 임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, 다음 두 식을 얻을 수 있다.

\[ \sum_{n=1}^{k} b^{n-1} = \frac{b^k - 1}{b-1}, \qquad \sum_{n=1}^{k} nb^{n-1} = \frac{((k+1)b^k - 1)(b-1) - (b^{k+1} - b)}{(b-1)^2} \]

이를 이용하여, 식 $(\ast)$를 정리하면 다음을 차례로 얻는다.

\[ \begin{align*} (\ast) &\iff \left( \sum_{n=1}^{b-1} n b^{n-1} \right) - 1 = (b-2) \left[ \left( \sum_{n=1}^{b-1} (b-n) b^{n-1} \right) + 1 \right] \\[5px] & \phantom{\iff \left( \sum_{n=1}^{b-1} n b^{n-1} \right) - 1} = b(b-2) \sum_{n=1}^{b-1} b^{n-1} - (b-2) \sum_{n=1}^{b-1} n b^{n-1} + (b-2) \\[15px] &\iff (b-1) \sum_{n=1}^{b-1} n b^{n-1} = b(b-2) \sum_{n=1}^{b-1} b^{n-1} + (b-1) \\[15px] &\iff (b-1) \frac{(b^b - 1)(b-1) - (b^b - b)}{(b-1)^2} = b(b-2) \frac{b^{b-1} - 1}{b-1} + (b-1) \\[15px] &\iff (b^b - 1)(b-1) - (b^b - b) = b(b-2)(b^{b-1} - 1) + (b-1)^2 \end{align*} \]

여기서 마지막 등식이 성립함은 간단한 계산을 통해서 확인할 수 있다. 따라서 식 $(\ast)$를 얻는다..

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여기서 좀 더 나아가 $1$부터 $9$ 까지의 수를 오름차순으로 적은 수 $987654321$과 내림차순으로 적은 수 $123456789$의 첫 $k$ 자리만을 비교해 보아도 다음과 같은 사실이 성립한다.

\[ \frac{9 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}} = 8, \qquad \frac{98 - \frac{2}{9}}{12 + \frac{2}{9}} = 8, \qquad \frac{987 - \frac{3}{9}}{123 + \frac{3}{9}} = 8, \qquad \frac{9876 - \frac{4}{9}}{1234 + \frac{4}{9}} = 8 \]

위 사실 또한 임의의 정수 $b \geq 2$에 대하여 $b$-진법에서 계산을 해 보아도 비슷하게 성립하는데, 이를 정리하면 다음을 얻는다.

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임의의 두 정수 $b > k \geq 1$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \frac{\displaystyle \left( \sum_{n=1}^{k} (b-k-1+n) b^{n-1} \right) - \frac{k}{b-1}}{\displaystyle \left( \sum_{n=1}^{k} (k+1-n) b^{n-1} \right) + \frac{k}{b-1}} = b-2 \tag*{$(\ast\ast)$}\]

특히 $b = k$인 경우, 식 $(\ast)$를 얻는다.

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증명. 식 $(\ast)$의 증명과 동일한 방법으로 식 $(\ast\ast)$ 또한 증명할 수 있으므로, 자세한 증명은 생략하도록 한다..  

1. http://www.mathpages.com/home/kmath403/kmath403.htm [본문으로]