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몫환(Quotient ring)과 동형정리(isomorphism theorem)들 정의 6.1 $I$를 환(ring) $R$의 아이디얼(ideal)이라 하고 $a \in R$라 하자. 그럼 $a$가 속하는 $I$의 잉여류(coset)란 $a + I = \set{a + s}{s \in I}$와 같은 형태의 집합을 말한다. 모든 잉여류들의 집합을 몫환(quotient ring)이라 하고 $R/I$와 같이 나타낸다. 참고. 이 정의는 군 이론에서의 잉여류의 정의와 같다. 군 이론에서의 경우와 같이, 잉여류들은 환의 서로소인 부분집합을 이룬다. 원소 $a$는 잉여류의 잉여류 대표원소(coset representative)라 한다. 각각의 잉여류들은 다양한 잉여류 대표원소를 가질 수 있다. 이 때, 두 원소 $a..

환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism) 이번에는 덧셈과 곱셈 연산을 보존하는 환에서 환으로의 사상(map)에 대해서 알아보도록 하자. 정의 5.1 $R$, $S$를 두 환(ring)이라 하자. 사상(map) $f : R \to S$이 임의의 $x,\, y \in R$에 대하여 \[ f(x + y) = f(x) + f(y), \quad f(xy) = f(x)f(y), \quad f(1_R) = 1_S \] 를 만족하면 이 사상을 환준동형사상(ring homomorphism)이라 한다. 참고. 이때 좌변의 덧셈 곱셈은 $R$에서, 우변의 덧셈 곱셈은 $S$에서 이루어진다. 모든 환준동형사상은 $(R,\, +)$에서 $(S,\, +)$로의 군준동형사상(gro..