이항계수(binomial coefficient)들의 산술평균과 기하평균
식 $(x+y)^n$을 전개하여 각 항의 계수를 적으면 아래와 같이 이항계수(binomial coefficient)가 나타난다. \[ \binom{n}{0},\; \binom{n}{1},\; \cdots,\; \binom{n}{n}. \] 이제 위 이항계수들의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 $A_n$, $G_n$이라 하자. 다시 말해 $A_n$과 $G_n$은 아래와 같이 정의되는 수이다. \[ A_n := \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}, \quad G_n := \sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}}. \] 이번 글에서 계산해볼 것은 $\sqrt[n]{A_n}$과 $\sqr..