jjycjn's Math Storehouse

이번에 증명하고자 하는 정리는, 정리의 내용 자체만으로도 흥미로울 뿐만 아니라, 정리를 증명하는 방법 또한 매우 신기해서 이곳에 그 내용을 정리해서 올려보고자 한다. 이 정리는 Quadratic Semidefinite Programming 분야에서 S-lemma라고 불리는 정리를 증명할 때에 보조정리로써 사용되는데, 그 내용은 다음과 같다. Theorem.두 행렬 $P$와 $Q$가 모두 $n \times n$ symmetric matrix라 하자. 만약 $\operatorname{tr}(P) \geq 0$ 이고 $\operatorname{tr}(Q) < 0$이면, $\bar{x}^{\top}P\bar{x} \geq 0$과 $\bar{x}^{\top}Q\bar{x} < 0$을 동시에 만족하는 $\bar{x..

중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다. 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리는 이 절대부등식은 다음과 같다. 모든 양수 \(a,b\)에 대하여,\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \]이 부등식은 단순히 두 양수 \(a,b\)가 아닌, 임의의 \(n\)개의 양수 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\)에 대해서도 성립한다는 사실을 알 수 있다.\[\f..