jjycjn's Math Storehouse

언제나 그렇듯 처음에는 그냥 쉽고 간단하게 바나흐-타르스키 역설을 소개하는 정도로 글을 마무리 하려고 했는데, 쓰다보니 길어져서 글을 연속으로 여섯편이나 쓰게 되었다. 보통 수식이 많이 들어가는 글을 작성할 때에는 LaTeX로 글을 먼저 쓴 후에 나중에 티스토리에 문법 구조에 맞게끔 글을 수정해서 올리는데, LaTeX로 작성한 글도 거의 14페이지 가까이 된다. 이럴 시간에 내 논문을 좀 더 신경 썼어야 되는데, 뭐 그래도 이렇게 다양한 분야의 수학을 경험 하는 것이 언젠가는 내 커리어에 도움이 될 것이라 생각한다. 아래 파일은 LaTeX로 작성한 문서를 pdf로 변환한 파일이다. 파일 안에 블로그에 적은 모든 내용이 들어가 있다. 참고문헌 1. Youtube: The Banach–Tarski Parad..

군 $SO_3$ 위에서의 자유군 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$ 이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 $\mathcal{S}^2$를 생각하자\[ \mathcal{S}^2 := \set{(x,\,y,\,z) \in \R^3}{x^2 + y^2 + z^2 = 1}. \]이제 $^2$ 위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합 $SO_3$를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이 $1$인 $3 \times 3$ 직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 즉,\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\..