jjycjn's Math Storehouse

저번 글에서는 극값 정리의 조건 중 제약집합(constraint set)의 긴밀성(compactness)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보았다. 이번 글에서는 극값 정리의 조건 중 목적함수(objective function)의 연속성(continuity)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보고자 한다. 목적함수 $f$의 연속성(continuity) 먼저 연속성보다 약한 조건인 반연속성(semi-continuity)를 정의하자. 정의 2.1 (Lower Semi-continuity) 함수 $f: \R^n \to \R$에 대하여, $f$가 아래의 두 동치인 조건 (1) 또는 (2) 중 하나를 만족하면 $x^*$로 수렴하는 임의의 수열 $(x_n)$에 대하여 \[ f(x^*) \leq \liminf_n f(x_n)...

실해석학에서 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 정리는 아래와 같다. 정리 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 $E \subseteq \R^n$를 긴밀집합(compact set)이라 하고 함수 $f : E \to \R$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만족하는 $x^*,\, y^* \in E$가 존재한다. 이 정리에서 중요한 사실은 주어진 집합 $E$의 긴밀성(compactness)과 ..

실해석학에서 긴밀 집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다. 정리 1 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 $E \subseteq \R^n$를 긴밀 집합(compact set)이라 하고 함수 $f : E \to \R$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만..

2. Finite Dimensional Normed Linear Space $X$를 차원이 $n$인 노름공간(normed linear space)이라 하자. 또한 Let $B = \{e_1,\,\ldots,\,e_n\}$를 $X$의 기저(basis)라 하자. 원소 $x \in X$를 택하여 고정하면, $x_i \in \F$이 존재하여 \[ x = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n. \] 이 성립한다. 이제, $\norm{\cdot}$를 $X$ 위에서 주어진 노름(norm)이라 하자. $X$ 위에서 $\norm{\cdot}_1$을 \[ \norm{x}_1 := \abs{x_1} +\abs{x_2} + \cdots + \abs{x_n}. \] 으로 정의하면, $\norm{\cdot..