모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다.모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수가 존재하는가?이번 글에서는 위와 같은 성질을 만족하는 함수는 존재할 수 없음을 증명하고자 한다. 모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수먼저 실함수 $f : \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 이제 집합 $D(f)$를 $f$가 불연속이 되게 하는 점들의 집합으로 정의하자. 즉, \[ D(f) = \set{c \in \R}{\text{$f$ is not continuous at $c$}} \] 로 정의..